高等函数的概念第1篇

函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。但正是由于函数概念的抽象性与层次性，学生往往不习惯用集合、对应的观点去解释函数关系，缺乏用函数思想分析问题和解决问题的能力。本文拟通过对函数概念的发展与比较的研究，对函数概念的教学进行一些探索。

1、函数概念的纵向发展

1．1 早期函数概念──几何观念下的函数

十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。

1．2 十八世纪函数概念──代数观念下的函数

1718年约翰·贝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。

18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号。欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。

1．3 十九世纪函数概念──对应关系下的函数

1822年傅里叶(Fourier，法，1768－1830)发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新的层次。1823年柯西(Cauchy，法，1789－1857)从定义变量开始给出了函数的定义，同时指出，虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法，但是对函数来说不一定要有解析表达式，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限，突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷。

1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859)认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。

等到康托尔(Cantor，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）。

1．4 现代函数概念──集合论下的函数

1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数。其优点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念，其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”，即序偶(a，b)为集合{{a}，{b}}，这样，就使豪斯道夫的定义很严谨了。1930年新的现代函数定义为，若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。

函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不意味着函数概念发展的历史终结，20世纪40年代，物理学研究的需要发现了一种叫做Dirac－δ函数，它只在一点处不为零，而它在全直线上的积分却等于1，这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的，但由于广义函数概念的引入，把函数、测度及以上所述的Dirac－δ函数等概念统一了起来。因此，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念还会继续扩展。

2、函数概念的横向比较

函数概念，作为世界各国学生必修的内容，各国对其分配设置、处理方式不尽相同。下图对中国与各个西方国家的函数概念作一横向比较：

函数概念引入──学习──深化的过程比较

中国

初三时引入函数概念，强调学生对于函数概念的形式化定义，用“变量”来描述函数概念。

高一时用“映射”来刻画函数概念。

法国

四五年级学生认识和使用小数集上定义的数值函数。

七年级，用图表表示情景，通过消费、发展、环境等让学生初步感受函数。

八年级，能用图、表或解析式等多种方式表示函数，但不给出严格定义。

九、十年级，用表格、图表处理一些其他领域的问题，定义处理十分谨慎。

高中时，大量增加函数内容。

日本

小学四年级开始接触函数关系的初步概念，对两个相依变化的数量关系进行研究并用图表来表示，用式子简洁的表示数量关系。

中学在数量关系领域把函数概念的学习划分为三个阶段，渗透函数思想。

美国

九年级以上的各类代数课本中，都首先定义“有序数对”、“关系”，再将函数定义为一种特殊的关系。

德国

初中由机器运算寄存器的有关知识展开所熟悉的简单算法，让学生在编写简单程序的同时开始学习变量、函数。

英国

由实际情景得到表达式，再得到数据，描点作出图象，利用曲线解决实际问题，在实际问题的解决中引入函数概念。

2．1 函数概念引入方式上的差异

我国教材函数概念引入方式为：实际例子（问题）数学解答从过程中提炼出函数概念。这种方式更注重函数概念引入的系统性，从两个阶段入手，多层面，多角度地向学生介绍了以“变量”为基础的函数古典定义以及以“集合”为基础的现代函数定义，所呈现的函数概念结构较系统和完整，有利于学生基础知识和基本技能的熟练掌握，但学生对“对应关系”往往缺乏充分的理解，并且函数概念引入时间较晚，定义方式理论性较强，比较抽象，不利于学生深入理解函数思想的实质，以及自身辨证思维能力的发展。

西方各国函数概念的引入一般较早，函数概念引入方式为：实际例子（问题）数学概念实际问题。它更注重函数概念背景知识的铺垫，重视函数思想和方法的掌握，淡化函数的形式化定义，大多没有给出具体的函数概念，而是将实际应用中的问题与学生的认知结构相联系，以问题解决的形式让学生学习函数内容，应用数学的意识比较突出。

2．2 函数概念与信息技术结合程度上的差异

我国函数概念教学中加强了函数与其他学科知识的联系，并且结合各种现代教育技术初步培养学生用数学能力，逐步提高学生分析问题，解决实际问题的能力。但常常局限于用计算器进行简单求解，用计算机辅助教学等内容，没有很好的引导学生利用互联网资源自主学习。西方各国大部分函数概念教学都与计算机技术教育相结合，涉及“寄储器”、“算法”等诸多计算机语言、计算机网络图，很好的培养了学生动手操作能力，调动学生积极思维，有利于学生树立正确的数学观，即数学不仅是书本上呈现的知识，而是广泛存在于我们的生活空间，拥有非常丰富的信息载体，学生应通过自主的学习行为去领略书本以外的数学世界。

3、函数概念教学的几点思考

3．1 注重函数概念的早期渗透

函数概念的培养在小学已经开始了，进入中学，随着代数式、方程的研究以渗透了这一观念，任何一个含有字母的代数式，就可以看作它所含字母的函数。所以教师可以在教学中，根据相关内容向学生渗透函数的思想，如代数式的学习，让学生了解到量与量之间的依存性；通过数的概念的发展，积累学生关于“集合”概念的初步思想；通过数轴和坐标的教学，渗透关于“对应”概念的初步思想等。通过这样的铺垫，学生在接触到严谨而抽象的集合函数概念时，易于接受。

3．2 注重学生学习函数概念的心理建构过程

建构主义学习理论认为：应把学生看成是学生主动的建构活动，学习应与一定的知识、背景即情境相联系；在实际情境下进行学习，可以使学生利用已有的知识与经验同化和索引出当前要学习的新知识，这样获取的知识，不但便于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。在函数概念教学中，可以适当采用引导讨论，注重分析、启发、反馈，先从实际问题引入概念，然后揭示函数概念的共同特性：（1）问题中所研究的两个变量是相互联系的。（2）其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化。（3）对第一个变量在某一范围内的每一个确定的值，第二个变量都有唯一确定的值与它对应。同时从阅读、练习中巩固概念，再从讨论、反馈中深化概念，让学生自己完成从具体到抽象的过程，避免概念教学的抽象与枯燥，使学生深入理解函数的实质，从而让学生较好地完成函数概念的建构。

3．3 注重函数概念与信息技术的适时性、适度性结合

由初中刚进高中的高一学生，思维较为单一，认识比较具体，注意不够持久，并且高中数学比较抽象，学生学习普遍感到困难，因此在教学过程中应创设一些知识情境，借助现代教学手段多媒体进行教学，让学生在轻松愉快的氛围中进行学习。应用信息技术时要根据教学需要，学生需求和课堂教学过程中出现的情况适时使用，并且运用要适度，掌握分寸，避免过量信息钝化学生的思维。函数概念教学中，教师可以借助于几何画板，图形计算器等现代教学工具辅助教学，鼓励学生上机操作，观察函数图象的变化过程，引导学生交流与讨论，更好的学习和理解函数。

3．4 注重函数概念的实际应用

抽象的函数概念必须经过具体的应用才能得到深刻理解，生活中的许多问题都是通过建立函数模型而通过解决的，因此在函数概念教学中，可以通过函数性质比较大小，求解方程、不等式，证明不等式等活动加强理解，同时引入具体的函数生活实例，如银行的利率表、数学用表、股势走势图，让学生记录一周的天气预报，列出最高气温与日期的函数关系等等。这样学生既受到思想方法的训练，又对函数概念有了正确的认识，使学生相应的数学能力得到充分的培养与发展。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部。全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M]。北京：北京师范大学出版社，2001，7；

[2]M克莱因。古今数学思想(1－4册)[M]。上海：上海科学技术出版社，1979－1981;

[3]吴泽菲等。中国与英国初中数学课程比较[J]。外国教育研究，1998，1：11－16;

[4]章以昕。中美两国中学数学教材中函数概念的比较[J]。数学通讯，1996，2：16－19;

高等函数的概念第2篇

【摘要】新课标；高中函数教学；思考

在教学中教师要让学生做课堂的主人，做知识掌握和运用知识解决具体问题的主人，让学生“活”起来，“动”起来.通过情景创设、例证辨析、主动质疑等课堂环节让学生掌握函数的概念的内涵和外延，并能运用函数的概念理解和解决其他数学问题.本文就教学过程中学生的情况和自己的反思，谈几点自己的思考.

一、加强高中函数思想方法的应用

函数是刻画现实世界变化规律的重要数学模型.因此，函数在现实世界中有着广泛的应用.加强函数的应用，既突出函数模型的思想，又提供了更多的应用载体，使抽象的函数概念有更多的具体内容支撑.

二、教学中注重函数概念的实际应用

抽象的函数概念必须经过具体的应用才能得到深刻理解，生活中的许多问题都是通过建立函数模型而解决的，因此在函数概念教学中，可以通过函数性质比较大小，求解方程、不等式，证明不等式等活动加强理解，同时引入具体的函数生活实例，如银行的利率表、数学用表、股市走势图，让学生记录一周的天气预报，列出最高气温与日期的函数关系等等.这样学生既受到思想方法的训练，又对函数概念有了正确的认识，使学生相应的数学能力得到充分的培养与发展.

三、强调函数背景及对其本质的理解

在整个中学阶段，函数的学习始于义务教育阶段，而系统的学习则集中在高中的起始年级.无论是引入函数概念，还是学习三类函数模型，新课程标准都要求充分展现函数的背景，从具体实例进入知识的学习.以往教材中，将函数作为一种特殊的映射，学生对于函数概念的理解建立在对映射概念理解的基础上.学生既要面对同时出现的几个抽象概念——对应、映射、函数，还要理清它们之间的关系.实践表明，在高中学生的认知发展水平上，理解这些抽象概念及其相互之间的关系存在很大困难.而从函数的现实背景实例出发，加强概念的概括过程，更有利于学生建立函数概念.一方面，丰富的实例既是概念的背景，又是理解抽象概念的具体例证；另一方面，在实例营造的问题情境下，学生能充分经历抽象概括的过程，理解概念内涵.

四、在教学中要强调启发式教学的地位和作用

中学数学教学方式要强调综合性，该让学生活动的地方教师绝不代替，而且要把实质性的概括机会留给学生，例如具体实例共同特征的概括就应该让学生完成.但要注意，不讲不等于放羊，不是教师无所作为，而是“此时无声胜有声”，是教师通过问题启发，激疑、激思而使学生进入独立思考阶段.同样，讲授≠注入，不是教师胡乱作为，而是启发式讲解，是答疑解惑，而且该讲解的地方要讲准、讲透.例如函数的定义就应当在学生对具体实例共同特征的概括后，由教师讲解而不必让学生探究，逐步培养学生用概念解释数学对象的能力与习惯，是促使学生深层次参与课堂教学的有力举措，体现了思维教学的真谛，也是培养学生思维能力的有效途径.

五、注重函数概念与信息技术教学的结合

进入高中的学生思维较为单一，认识比较具体，注意力不够持久，并且高中数学比较抽象，学生学习普遍感到困难，因此在教学过程中应创设一些知识情境，借助现代教学手段多媒体进行教学，让学生在轻松愉快的氛围中进行学习.应用信息技术时要根据教学需要、学生需求和课堂教学过程中出现的情况适时使用，并且运用要适度，要掌握分寸.函数概念教学中，教师可以借助于几何画板、图形计算器等现代教学工具辅助教学，鼓励学生上机操作，观察函数图像的变化过程，引导学生交流与讨论，更好地学习和理解函数.

六、注重突破难点，显化过程，加强联系的方法

高等函数的概念第3篇

关键词：函数教学 教学衔接 初高中

函数是高中数学一个非常重要的知识，它贯穿整个高中，是高中数学的一个核心知识。其实，在初中学生就已经接触到了函数，比如一次、二次、正反比例函数在初中就已经学习了，在高中又学习了三角函数，幂函数，指数函数和对数函数等初等函数。函数是学生学习的一个重点，也是一个难点。下面作者就如何开展初高中函数概念教学谈谈自己的看法。

1初、高中函数概念的区别

初中教材偏重于实数集内的运算，缺少对概念的严格定义或对概念定义不全。如函数的定义，对数函数的定义就是如此。死记硬背对数运算性质，不容易记而且容易记错，只有对对数概念深刻理解，在此基础上多加练习才能准确掌握对数运算性质。函数在中学数学学习中占据核心与主线的重要地位，也是学习高等数学的基础。在函数教学中初中学习只对函数的基本概念作了一些了解，但高中时对于基本函数的图像和性质、反函数、判断、证明、应用函数的三大特征（单调性、奇偶性、周期性），都有很大要求。

初中函数概念是以运动观点来描述的，它直观、感性，贴近生活，学生易于理解、接受；高中函数概念是以集合观点来描述的，它抽象、理性，不贴近生活，学生不易理解、接受。但两个概念的实质是一样的，如何实施两个概念之间的自然过渡是学好函数概念的关键。例如，初中是这样定义函数的：“设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于的x每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。”在这个定义中只提及数值之间的关系是一种对应关系，并没有说明是一个什么样的对应关系。其次是对x的取值没有说清楚，按照这个定义是无法解释y=1（x∈R）这样一个函数的。

2函数概念教学如何有效进行

2.1适当进行铺垫，注重函数概念教学的初次衔接

高中教师要熟悉初中数学教材和课程标准对初中的数学概念和知识的要求做到心中有数，把高中教材研究的问题与初中教材研究的问题在文字表述、研究方法、思维特点等方面进行对比，明确新旧知识之间的联系与差异，高中数学新授课就可以从复习初中内容的基础上引入新内容。高一数学的每一节内容都是在初中基础发展而来的，故在引入新知识、新概念时，注意旧知识的复习，用学生已熟悉的知识进行铺垫和引入。寻找数学内容的衔接点，规划教学，教师应认真学习和比较初、高中数学课程标准及教材，全面了解初、高中数学知识体系，找出知识的衔接点、区别点和需要铺路搭桥的断裂点，以使备课、讲课更加符合学生实际，避免让学生重复学习初中已讲授过、或者缺乏相关学习经验过分困难的知识。

2.2关注学生的心理变化，培养学生良好的学习习惯

高一新生的平均年龄处在16至18岁的青春期，同时，心理上也发生着微妙的变化，尤其是刚经历完中考的洗礼，无论是成功还是失败都已告一段落。有的为能考上理想的高中而兴奋不已，终于可以松口气了，有的因为考得不理想而沮丧，有种一切从头开始的愿望。然而，面对全新的一切又有种不知所措的感觉。特别是初、高中教学内容和教师的教学方法的不衔接，导致一些学生丧失了信心，现实与理想差距甚大，因而心理上容易出现各种问题。作为任课教师应及时发现和处理学生出现的不良心理状况。

另外，良好的学习习惯是学好高中数学的关键。许多高一新生认为只要课上认真听课，课下多做练习就足够了。因而他们缺乏以下几个方面良好的学习习惯。第一，阅读和理解的习惯。缺乏这种习惯的学生往往对课本内容比较陌生，对基础知识的理解不深刻。第二，练习和反思的习惯。有些学生不爱做练习更谈不上反思了，还有些学生练习做了很多，但缺少反思的习惯。第三，归纳和总结的习惯。很多学生忙于题海战术，不注重类型题的归纳和总结，学习效率低。

2.3对教法的建议

（1）丰富函数概念的形成过程，适当介绍函数发展历史

在我国中学的函数概念教学，在初中采用“变量说”，在高中采用“对应说”，这种安排基本上是遵循函数概念历史发展的本来顺序，也符合人们对于函数概念认识过程上的发展性、阶段性，这恰好体现了社会个体对函数的认知与人类认识函数的历史是一致的。但即便如此，学生形成和理解函数概念的水平仍旧很低。函数概念形成的曲折数学史和初中、高中、大学的数学教育相匹配，绝非是偶然的，而是数学教育与函数不断深化的必然规律。传统数学教材强调完美的逻辑，严密的推理，注重数学知识的传授，数学技能的训练，缺乏生气，学生淹没在成堆的定理、公式、法则中，使许多学生感到数学索然无味，难以引起学生的数学兴趣和学习的主动性。

（2）重视函数符号的教学和抽象逻辑思维能力的培养

函数符号的特征凝结了数学符号的特有特征：抽象性、概括性。函数符号的使用和理解，根本之处是要把握它表示的对象的内涵实质，而不是它的外在表现形式。学生对函数符号的理解是伴随这对函数概念理解的整个过程中的，而学生对函数符号语言的掌握情况是判断学生对函数概念掌握情况的有效信号。由于数学符号的抽象性，因此学生是往往会望而却步，畏惧三分，从而影响了学生学习数学的积极性。

总之，在众多研究函数教学的说明上我们认识到在函数部分教学时，应注重打好基础，对概念定义等抽象的理念要多向学生讲授，可以利用配合习题解答或证明等方式来让学生理解。不要堆积太多习题给学生，要让他们充分吸收函数知识而不是死记硬背。函数学习中要注意经典例题的讲解，通过经典例题，带动学生举一反三，摸清摸透知识点。而且通过例题的讲解，学生也比较好理解函数抽象的概念。最后就是要培养学生的自主学习能力和理解能力，每天布置适量习题，帮助巩固知识点和加深理解。通过上述论点，我认为加强学法指导，培养良好的学习习惯，多关注学生，多与学生交流，多鼓励表扬学生，以提高学生学习的自信心。教学时间上，向初中教学延伸，对初中数学知识进行适时适当的复习，这样有助于函数概念教学。

参考文献：

[1]全日制义务教育数学课程标准（实验稿）解[M].北京：北京师范大学出版社，2001.

高等函数的概念第4篇

【关键词】高中教学；函数概念；策略；基本初等函数

一、前言

函数在高中数学教学中占据重要地位，也是学生学习数学的难点所在。教师在函数内容教学上要把握宏观上的函数教学策略，建立切实可行的函数教学方法和方式，这对高中阶段学生熟练数学具有很重要的意义。这里，我们以“函数概念与基本初等函数”为例，对高中数学的教学方法和策略分析探讨。

二、在数学教学过程中的问题分析

（一）对概念理解不深刻

学生对于函数的理解仅仅停留在概念层面，并且存在着一定的认识误区，难以在实际解决问题中运用函数思维。

（二）函数应用意识薄弱

对一些数学问题学生们习惯应用方程求解。而遇到变量间的函数存在关系时，学生就无法快速找到问题的关键而无从下手。

（三）缺乏数形结合的基本思想

由于学生欠缺对数形结合思想的基本思想认识，在具体解题时很难做到将数形结合工具运用其中。

三、高中数学函数教学的策略研究

高中教学策略是在教学过程中将教学思想、技术手段和方法模式三方面进行综合，是经过加工的教学思维的方法模式。教学策略和方法是一套付诸教学的方案步骤，能够针对具体的教学目标进行制定，不仅包括了合理的教学过程、方法和材料，还包括教师和学生需要遵守的教学程序。下面，我们针对高中数学函数教学中的函数知识，对教学过程中的策略进行简单的探讨。

（一）学生要充分了解函数基本概念的形成过程

学生必须具备将原有概念认知和新知识融会贯通的能力，形成系统的知识体系。教师必须能够进行科学有效的概念教学，并对以下各方面的信息进行充分的了解：

1.原有概念体系或其他知识体系中与新概念是否存在某种逻辑关系？

2.学生是否已经对该原有概念体系的内容有了充分的了解？

3.学生学习新知识的能力是否能够适应教授的内容？

另外，教师在对高中函数概念进行讲授时，要突出强调函数的相互对应关系，加深了学生对函数概念的理解。

（二）采取正反例证法深化学生对函数概念的理解

数学概念一般应用定义来对事务的本质属性进行说明，但是这种使用数学符号和语言进行表述的方式会造成学生理解上的障碍。因此，函数概念的学习可以通过其他多种措施来加深学生的理解。下面我们使用正反例证法来进行说明：

教师在完成函数的基本概念介绍后，可以通过举正反两方面的例证来举一些肯定例证来强化学生对新知识的记忆，帮助学生了解函数。

（三）灵活运用数形结合的教学方法

在教学过程中，充分利用函数图像的直观性来加强对函数性质的理解，是研究函数教学策略的重要途径。数形结合能够使抽象的数学问题变成直观、生动的画面，对学生把握问题的本质具有重要作用。我们使用下列习题作为示例：

购买x听某饮料需要y元。如果每听2元，尝试使用不同的方法将x表示成y的函数。其中几名学生做出了图一（1）的图形。

（1） （2）

图一

这说明了学生的知识体系中还只是认为函数的图像都是连续的，这是因为没有接触到过非连续函数图像所造成的。因此，在平时的教学当中，加强数形结合方式的教学十分必要。

（四）激发学生学习兴趣

在高中数学的学习过程当中，教师要努力提高学生对数学的兴趣，变枯燥为生动，使学生以积极的态度投入到学习中去，提高课堂学习效率。

四、结论

在进行函数教学的过程中，要灵活应用Excel表格的图形工具、几何画板等图像软件，这样能够让学生从具体的图像中对函数的性质进行比较和理解，从而将教育技术和课堂教学联系到一起，这对有效提高课堂的教学质量意义重大。另外，在函数教学过程中，还要加强学生对函数内涵文化的了解，函数蕴含的数学文化对激发学生的学习兴趣具有重要作用。

【参考文献】

[1]华开田.浅谈函数教学[J].新课程学习（综合），2010（08）

[2]黄智华.“数形结合”——函数教学之“魂”[J].中小学数学（高中版），2008（04）

[3]朱静.高中函数教学方法及技巧探微[J].中学教学参考，2011（20）

[4]李鸿艳.函数思想在数学解题中的应用[J].中国科技信息，2005（09）

高等函数的概念第5篇

关键词 高一 函数概念 有效教学

一、高一学生对函数概念学习的理解水平

（一）对基本概念、基本知识掌握不牢固

数学概念、基本知识的学习是数学学习的基础，需要正确理解概念，正确、灵活运用概念、公式解决数学问题。在这方面绝大多数教师在教学中已经作了很大努力，但考生对数学概念望文生义、臆造公式和法则，忽视双基，导致基础题丢分，成绩不理想。函数概念学习中有许多错误表现为学生认知的“惯性”。这种思维导致学生在数学概念中不知不觉地犯某种错误，表现为不恰当的推广、扩大，不恰当的方法迁移，或者在过于限制的领域内建立联系，而没有整体地去看问题，或者是对某一数学方法的偏好，而忽略其对立的方法，或者思考问题时思维的单向性、单一性。思维惯性影响低层次认知水平向高层次认知水平迁移，影响着新的认知结构的建立和发展。

（二）知识的掌握不扎实、方法不熟练

由于学习进度快，前面学习的内容没能得到及时再巩固，使大多数学生知识的掌握存在漏洞，不扎实、不系统、不牢固，在考试短时间内综合运用显得力不从心，考虑到这就忽略那，从而造成答题不完整，步骤不全、条件不全等情况。

学生在学习新概念时，常常按过去的经验、结论、方法对概念作“合理”的推广，由于没有清楚新的概念层次与原来概念层次之间的差异，所以大多数“合理”推广是错误的。但是推广是数学研究与学习极为重要的途径，是学生在同化与顺应过程中的思维构造，它可以扩展学生思维、培养学生探索能力。学生自身具有探索、创新的潜能与欲望，他们时刻自觉地在作尝试、推广工作。但他们掌握的知识毕竟有限，有时在推广时考虑不那么全面，往往会导致出错。特别是在函数概念学习中，他们同样会这样做，这种推广是人类天性与潜能，有时会导致错误，但是只要教给学生一定的方法，错误还是能尽量避免的。

（三）基本运算能力不过关

运算能力的考察在平时的考试和学习中中占有一定分量，试卷中具有非常明显的比例。由于运算不过关导致不能正确地对试题作答的情形在考生中十分普遍。计算和式子变形出错很多，公式不熟，步骤、格式不规范，该写的步骤不写，该加的条件不加，符号表达不准确等现象，造成该得到的结论没有得到，这对下一步的思考带来了障碍，使学生被一些表面现象所迷惑，对概念的理解也会出现失误，从而影响正常的判断。

二、对高一函数概念有效教学的建议

函数概念多元表征情景的创设是函数概念多元表征教学的前提。与实验教材相比，新课标中函数概念更注重多元表征情景的创设。譬如，函数具体实例表征由过去的“两个数集对应”，换成了 “解析式”、“图象”、“列表”三种对应。另外，时下数学课堂，虽注重多元表征教学情景的创设，但总体来看，很多教师只是照本宣科地由情景到情景，并没有注意或意识到函数概念多元表征情景的优化。本研究依据数学多元表征学习视角，认为优化函数概念多元表征教学情景，可以遵循以下原则。

（一）导入遵循“变量说一对应说”

函数概念经过了 200多年的发展，在演进过程中衍生多种界定，形成了不同的表征。总的来看，我国初中到高中对函数概念界定，主要遵循。变量说一对应说。因此，对于高中函数概念的教学，应该在变量说的基础上再现函数概念的发生、发展与形成过程。

（二）具体表征实例包含“式、图、表”三种表征

解析式是函数的符号表征，具有抽象性、简洁性、运算性等特点，是形成函数概念言语化表征的学习材料。图象、列表是函数的图象表征，具有直观、形象，是形成函数概念视觉化表征的必要学习材料。有关多元表征功能的研究表明，言语表征与心象表征具有互补、限制解释以及深度理解等功能，函数概念三种不同的表征形式，可以建构多元表征的学习平台，有利于促使学生学习函数概念的多元表征，并在多元表征的转换与转译中实现对函数概念本质的理解。

（三）“听、说、看、写”相结合

多次实际课堂观摩发现，许多课堂注重关注学生的“听”和“看”，这样的“填鸭式”课堂，学生极度缺乏“说”和“写”的机会，无法促进学生深度加工各种表征，多元表征的教学与学习最终只能流于形式。

双重编码理论认为，言语码和心象码可以通过不同的感觉通道获得，各种编码形式可以是视觉的、听觉的、甚至触觉的。因此，课堂上要求学生听、说、看、写等，可以促使他们从多元渠道学习函数概念，从而把握函数的多元属性。

（四）深度解释策略

从“解释策略”的角度看，目前数学概念教学中主要存在着两个缺陷：其一，以教师的解释为主，甚至许多教师独揽了解释权；其二，许多概念的解释过于形式化，。一个定义，几点注意。常常淹没了概念的本质属性。概念解释的缺乏或解释过于肤浅，都不利于多元表征的转换与转译操作的产生以及实现。

深度解释策略，主要包括教师的解释与学生的解释两个方面，而且更突出后者。这是因为，通过深度解释，学生使自己的编码外显化，通过对他人解释的内容批判性考察，学生间的个体数学知识可以相互补救，以促进和增强深层码、整合码的建构。

在函数概念的教学中，我们可以设计看图说话、积极回答问题、积极参与讨论、主动交流与分享等活动，促使学生对函数概念进行深度解释。譬如，在学习完函数的定义表征后，我们可以创设这样的深度解释机会：从宏观看，函数概念包含了哪些主要因素？从微观看，函数概念主要因素间应该满足什么条件？张同学通过观察，认为函数概念就像“加工厂”，他的这个比喻是否合理？为什么？这些问题的深度解释，能引导学生从文字表征、符号表征、图象表征等各方面进行加工、转换、转译，有利于学生整合各种表征，从而抓住函数的本质属性。

参考文献：

[1]谈雅琴."高一学生对函数概念的理解"的调查研究[J].中学数学教学参考，2007，1-2：119-121.

高等函数的概念第6篇

关键词：APOS理论　函数概念　新课程

1、APOS理论研究综述

APOS理论起源于杜宾斯基（E.Dubinskv）试图对皮亚杰的数学学习的“自反抽象”理论进行拓展的一种尝试。

APOS理论分别是由英文action（操作）、process（过程）、object耐象）和scheme（图式）的第一个字母所组合而成，也是APOS理论的四阶段模型。这种理论认为，在数学教学中，如果引导个体经过思维的操作、过程和对象等几个阶段后，个体一般就能在建构、反思的基础上把它们组成图式，从而理清问题情景，顺利解决问题，这就是APOS理论。

目前APOS理论在国外比较盛行，已经在很多方面得到了广泛的应用，诸如：函数概念，包括由Marilyncarlsom，Dubinskv，Guer-shonharel等人所做的研究；抽象代数问题，包括由Dubinsky，而Leron以及由Rumec中部分成员所做的工作；离散数学问题，如数学演绎、置换、对称以及表示存在和所有的量词；微积分问题；统计学中的问题。

2、新课程下高中函数概念的教学

高中函数概念教学应达到的目标：理解并真正掌握用集合的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数中的作用；将函数作为一般对象去进行研究或实施演算，完成函数概念的对象化并逐渐形成函数概念较为完整的图式，从而在深层次上理解函数（重在理解函数思想）。

3、APOS理论对函数概念教学的应用

第一，注重函数概念的现实背景和数学活动的开展。在学习数学概念时，APOS理论强调学生首先需要处理的数学问题应具有丰富的社会现实背景，并认为概念的理解始于活动。因此，在进行函数概念的教学时，教师应注意概念产生的现实背景，精心组织学生开展数学活动，让学生通过活动来获得对概念的初步认识。

普通高中数学课程标准实验教科书·数学·必修I（A版），在函数的概念一节中安排了三个实例：（1）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度^（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：h=130t-5t2。这个例子可以让学生体会炮弹飞行时间t的变化范围是数集A=｛t/0≤f≤26｝，炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B=｛h/O≤h≤845｝。（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题（图2）。

根据图中曲线可知，时间f的变化范围是数集A=｛t／1979≤t≤2001｝，臭氧层空洞面积s的变化范围是数集B=｛s/O≤s≤26｝。（3）“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况（表1所示）。

根据上表，可知时间t的变化范围是数集A=｛t／1991≤f≤2001，t∈N*｝，恩格尔系数y的变化范围是数集B=｛y/37.9≤y≤53.8｝。这三个例子，特别是后面两个不但贴近学生的生活实际，而且让学生通过对其语言描述与演算，从中抽象出数量关系。第二，重视函数概念的形成过程。APOS理论指出，个体是在“过程”中对“活动”进行反省抽象，发现概念的本质属性。由此出发，学生在函数概念学习的过程中，不但要给予他们实例，而且也要应引导学生去分析、归纳实例。而在此时，适当的引导学生思考：对于数集中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y值和它对应。记作f：AB。从而就可以试图让学生用集合与对应的语言刻画函数，抽象概括出函数的概念。

第三，重视函数概念的对象化。APOS理论强调，只有当个体能够把概念形成的过程视作一个新的对象，并进行研究或灵活运用时，一个完整的理解才算真正成型。对函数概念而言，它只有在学习者头脑中呈现出“过程——对象”一体化时，才算真正形成。因此，为了让学生能够更好的理解函数概念，须让学生做到以下两方面：一是研究函数的表示方法，即是从定义域内任取一个值，唯一得到一个函数值，对应地只能描出一个点，这使得学生可以很容易地把握对应关系的特点；同时让学生绘制函数图像，这种方法使学生在函数的不同表示方法之间进行转换，丰富了学生对概念的认识以及研究函数的性质。二是通过对函数实施高层次的演算，让函数概念在学生的头脑中真正实现对象化。

第四，重视函数概念图式的建构。APOS理论指出，概念的建构还要上升到“图式阶段”，即需要在知识的整体结构中深化对概念的认识和理解。首先建立起的是函数概念的结构——包括函数概念的抽象过程、函数完整的定义、函数的具体实例、函数的形式化表示、一系列的子概念淀义域、值域、对应法则等；在此基础上，随着学习的深入和知识的积累，不断地加强函数概念与不等式、方程、数列、曲线、图像等概念的区别和联系，建构起概念网络。

高等函数的概念第7篇

一、揭示背景、播种种子

在初中，学生初步学过函数的概念（变量说），教师应把这个作为学生知识的生长点，结合具体实例形成高中函数的概念（对应说），使函数概念的重要本质特征被嵌入到他们的概念体系中去，从而构建学生良好的认知结构.

教师：在初中，我们学习过函数的概念，请同学们回忆一下，它是怎样表述的？

学生1：设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.

（设计意图：数学概念往往具有系统性，复习初中函数的定义，为形成高中函数定义和比较初、高中函数定义做好铺垫）

教师：很好，这个定义是从变化过程中两个变量的关系角度进行定义的.下面我们先来看几个实例.

二、分析实例、种子发芽

实例1 一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是.（*）

问题1 （1）炮弹发射后2（s）炮弹距地面的高度是多少？发射后5（s），10（s）呢？（2）根据（*）式，从0（s）到26（s）的每一时刻炮弹距地面的高度唯一确定吗？

学生2：2（s）240（m），5（s）525（m），10（s）

800（m），每一个时刻t（s）h（m）（唯一的）.

实例2 近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，

因而出现了臭氧层空洞问题.图1.2-1中的曲线

显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～20

01年的变化情况.

问题2 （1）1983年臭氧层空洞的面积约是多少？1991年，1997年呢？（2）根据图中曲线，从1979年到2001年每一时刻臭氧层空洞的面积唯一确定吗？

学生3：1983年，1991年，1997年，每一个时刻（年）臭氧层空洞面积（唯一的）.

实例3 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.表1-1中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.

表1-1 “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况

时间（年） 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

城镇居民家庭恩格尔系数（%） 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9

问题3 （1）1992年恩格尔系数是多少？1995年，1999年呢？（2）根据表格，从1991年到2001年每一年的恩格尔系数唯一确定吗？

学生4：1992年52.9%，1995年49.9%，1999年41.9%，每一个数（年）恩格尔系数（%）（唯一的）.

（设计意图：在三个实例之后分别设计三个问题，能更好地揭示事物的共同属性，凸显函数概念的本质属性，有了“脚手架”，学生从实例中抽象出函数的概念就比较顺畅）

三、归纳共性、破土而出

教师：以上每个实例都可以看成一个变化过程，根据初中函数的定义，这三个都是函数.但是，随着学习的深入，仅从变化过程角度来定义函数有其局限性，例如：是函数吗？就很难回答.因此，我们需要从新的高度来认识函数概念，那么，如果去掉具体的问题情境，上述三个实例变量之间的关系有什么共同点？

学生5：都是两组数之间的一种对应，并且对于第一组中的每一个数，在第二组中都有唯一的数与它对应.

教师：很好，显然这两组数可以构成集合，我们称之为非空的数集，如果两个非空的数集之间有这种对应关系，我们就说是一个函数关系，下面，请同学们用两个集合元素之间对应的语言来定义函数的概念.（几位学生试着表述，之后，教师将学生的回答梳理再表述，或者启示学生将表述补充完整再条理表述）

四、数学语言、概念命名

学生6：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f（x），x∈A.

教师：非常好！其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x∈A}叫做函数的值域.

教师：那么，理解这个函数的定义，我们又应该注意些什么呢？

师生共同归纳：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应；②符号“f：AB”表示A到B的一个函数，它有三个要素；定义域、对应关系和值域，三者缺一不可；③集合A中的数具有任意性，集合B中的数要满足唯一性；④f（x）是一个符号，不能理解为f与x的乘积.

（设计意图：注意函数定义中的关键字，培养学生思维的严谨性）

教师：在研究函数时，除用符号f（x）表示函数外，还常用g（x）、F（x）、G（x）等符号来表示.下面，请同学们比较初、高中函数定义的联系和区别？

学生7：初中函数定义与高中函数定义本质是一致的，都是一种对应，高中的定义更加抽象，是两个非空数集之间的一种对应.

教师：是的.函数概念用集合、对应的语言叙述后，我们就很容易回答前面所提出的问题.y=1（x∈R）是函数，因为对于实数集R中的任何一个数x，按照对应关系“函数值是1”，在R中y都有唯一确定的值1与它对应，所以说y是x的函数.

（设计意图：比较初、高中函数定义，使学生构建函数概念的知识体系，同时解决前面提出的问题，前后呼应）

五、概念内化、施肥浇水

例1 判断下面从集合A集合B的对应关系是不是函数？如果是，请指出它的定义域、值域和对应关系；如果不是，请说明理由：

教师：通过这个例子，你能发现函数的值域与集合B之间的关系吗？

学生8：函数的值域是集合B的子集.

例2 写出一次函数、二次函数和反比例函数的定义域、值域和对应关系，填入下表：

函数 定义域 值域 对应关系

（设计意图：函数的概念形成后要及时进行课内训练，以提高学生对新概念的认识和理解，明确概念的内涵与外延，促进新概念的内化）

六、运用概念、实现价值

例3 已知函数，

（1） 求函数的定义域； （2） 求，的值； （3） 当，求，的值.

分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式y=f（x），而没有指明它的定义域.那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.

解：略.

教师：解析式有意义通常有哪些情况？

师生共同归纳：当求用解析式y=f （x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：

① 如果f （x）是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；② 如果f （x）是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于等于零的实数的集合；③ 如果f （x）是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分都有意义的实数的集合的交集）.

变式训练 求下列函数的定义域：

（1）； （2）.

例4 下列函数中哪个与函数相等？

； ； ； .

分析：若两个函数的“三要素”都相同，那么这两个函数肯定相等.

解：略.

教师：如果两个函数的定义域和对应关系相同，那么这两个函数是否相等？

学生9：由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系相同，那么这两个函数必定相等.

变式训练 判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：

（1）表示炮弹飞行高度与时间关系的函数和二次函数；

（2）和.

（设计意图：求函数定义域和判断两个函数是否相等是本节课的重要题型，应及时归纳解题规律）

参考文献：

[1] 李昌官.数学优秀课成长的基础、过程与方法[J].课程・教材・教法，2011（8）.

[2] 肖凌戆.高中数学概念教学的基本特征与操作模式[J].中学数学教学参考，2012（4）.

高等函数的概念第8篇

首先，先将寒假分为八个阶段，然后按下面计划进行，完成高等数学（上）的复习内容。

1 第一阶段复习计划：

复习高数书上册第一章，需要达到以下目标：

1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.

2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.

4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.

5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.

6.掌握极限的性质及四则运算法则.

7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.

8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.

9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.

本阶段主要任务是掌握函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；基本初等函数的性质及其图形；数列极限与函数极限的定义及其性质；无穷小量的比较；两个重要极限；函数连续的概念、函数间断点的类型；闭区间上连续函数的性质。

2第二阶段复习计划：

复习高数书上册第二章1-3节，需达到以下目标：

1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.

3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.

本周主要任务是掌握导数的几何意义；函数的可导性与连续性之间的关系；平面曲线的切线和法线；牢记 基本初等函数的导数公式；会用递推法计算高阶导数。

3 第三阶段复习计划：

复习高数书上册第二章 4-5节，第三章1-5节。需达到以下目标：

1.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.

2.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理.

高等函数的概念第9篇

什么叫做素质？素质是指一个人在政治、思想、作风、道德品质和知识、技能等方面，经过长期锻炼、学习所达到的一定水平。它是人的一种较为稳定的属性，能对人的各种行为起到长期的、持续的影响甚至是决定的作用。在我国的现代化建设中，各行各业不但需要一大批科技管理人才，而且需要数以千万计的高技能人才和数以亿计的高素质劳动者，没有这样一支高技能、专业化的劳动大军，再先进的科学技术和机器设备也很难转化为现实生产力。21世纪对人的素质要求不仅是知识、技能方面的提高，更重要的是能应变、生存和发展，素质低下的人终究被社会淘汰。中职学校培养的毕业生将直接服务于社会，所以，素质教育在中职学校占有突出地位，作为公共科目的数学科在教学中如何实施素质教育，提高中职生的素质呢？笔者认为，数学概念是最能实施素质教育的内容，加强基本的数学概念教学就是加强中职生的素质教育。

2.数学概念是数学学科体系的基本内容

先来明白什么是概念？从广义上说，概念是对客观事物的本质属性加以反映的思维形式。人们在认识客观现实过程中，从感觉到的事物共同特征中抽象出本质属性而形成概念。例如："人"这个概念，抽象出人的本质属性"能制造工具并使用工具进行劳动"之后，就得出了"人"的概念，"人是能制造工具并使用工具进行劳动的高等动物"。什么是数学概念呢？数学概念就是现实世界中某类事物的空间形式和数量关系及其特有的属性（或本质属性）在思维中的反映。例如，2013年6月第2版的中职数学课本（数学基础模块上册P44）的函数定义虽然叙述得很长，但是，"函数"的本质属性分开来说就是两点：①在一个变化过程中有两个变量X和Y，其中变量X在它的取值范围数集D内先变化大小。②对于数集D中的每一个X值，按照某个确定的对应法则f，都对应着一个Y值。符合这两点要求的Y就是自变量X的函数。一个数学概念既是对前面知识的总结，又是新知识的出发的。例如，得出函数概念之后，对函数值Y因自变量X的变化而变化作进一步研究，就发现了许多的函数性质而得出一系列的数学概念：函数的增减性、奇偶性、周期性等等。从小学数学到中职数学的概念超过一千个，以数学概念为出发点展开形成了数学的全部内容，数学概念是数学学科体系的基本内容，没有数学概念便没有数学这门学科。数学中研究的任何对象都是从对象的概念形成开始的，并以此为出发点研究对象的判定和性质。所有定理、法则的逻辑推导，都是以概念为基础的。理解数学概念不仅是掌握数学知识的前提，同时还是学习其它一些学科所必需的。例如，比例、坐标系等概念广泛应用于物理、化学、天文、测量等科学技术之中。学生理解了数学概念就有了自我学習数学的基础，就会提高学习兴趣并能跳出题海。而且学生在理解数学概念的过程中，还能形成解决问题的数学思想方法。可见，重视数学概念教学就是重视素质教育，抓好数学概念教学就是提高中职生素质。中国科学院数学与系统科学研究院研究员李邦河院士说过：数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！

3.数学概念的特点和中职生的学习情况

由于数学概念是反映一类事物在数量关系和空间形式方面本质属性的思维形式，它是排除了这类事物对象的具体物质内容（如重量、颜色、气味等）之后的抽象，所以数学概念具有高度的概括性和抽象性，而且有的数学概念是在原有数学概念基础上进一步概括形成的。例如，函数概念是在原有的概念"变量"、"集合"、"对应"的基础上形成的。低抽象度概念一般可以看作高抽象度概念的具体模型，可见，数学概念的抽象程度、概括程度还表现出层次性，这就给中职生学习数学概念造成较大的困难。而且数学是一门知识连贯性特别强的学科，前面基础知识的学习必然会影响后面内容的学习，可是，中职生的数学基础知识普遍较差，主要原因就是没有理解过去学的基本数学概念。

4.以例探讨进行中职数学概念教学

学生理解数学概念，一般是从感性开始的，采取从感性到理性，又从理性到实际应用的过程进行教学，是符合学生认识规律的。对于同类数学对象的共同本质属性，引导学生从大量同类数学对象的不同例证中分析发现，这种形成数学概念的方法特别适合中职生。例如，函数概念是众所周知的教学重难点，大部分中职生过去没有理解初中函数概念，现在又要进一步学习中职函数概念，是乎有难以克服的困难。事实上，中职函数概念与初中函数概念的区别不大，把初中函数定义中的自变量X的取值范围记作D，就可以得出中职函数定义。因此，对中职函数概念的教学应采取温故知新的教学方法。课本教材以知识回顾的形式再现初中函数定义，并附上一个函数实例，这就是温故知新的教学思路。但是，如果照本宣科，那么原来不理解的学生还是不理解。怎样才能做到温故知新呢？笔者认为既然学生曾经学习了初中函数概念，就先让学生阅读课本中的知识回顾即初中函数定义，尽管大部分学生看不懂，也不宜立刻讲解，而是事先将课本中的函数实例"商店销售某种饮料，售价每瓶2.5元，应付款是购买饲料瓶数的函数"，以表格形式列出应付款与瓶数的对应值表。必要时，在课前还要准备一些不同类型的函数实例。如：（1）银行的整存整取年利率Y与存期X的对应值表。（2）某地某天内的气温Y随时间X变化而变化的曲线图。（3）某校某天学生回校率Y=X/1500（X是小于或等于1500的正整数）。以上例子有对应值表、曲线图形、含有两个变量的式子，它们的形式虽然不同，但是，在每一个问题中都先后出现了两个互相影响大小的变量X和Y，而且先出现的变量X在允许的范围内每取一个值都会得出另一个变量Y的一个值，或者说另一个变量Y随之就会只有一个值与它对应。由此概括抽象出初中函数定义：如果在一个变化过程中，有两个变量，例如X和Y，对于X的每个值，Y都有唯一的值与其对应，那么我们就说X是自变量，Y是X函数。当学生理解了初中函数概念，就很容易理解中职函数概念，只要问一问学生：在形成初中函数概念所举的以上实例中，自变量X都有取值范围（集合）吗？把自变量X的取值范围不妨记作集合D，对于集合D内的每一个X值，是不是按照某一个对应法则f，都对应着一个Y值？经过学生的思考回答之后自然就会理解中职函数定义。并告诉学生对函数概念重新下定义的主要原因是解决初中函数不能解决的问题，使函数应用更广泛。