教学目标
1.使学生了解反函数的概念；
2.使学生会求一些简单函数的反函数；
3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。
教学重点
1.反函数的概念；
2.反函数的求法。
教学难点
反函数的概念。
教学方法
师生共同讨论
教具装备
幻灯片2张
第一张：反函数的定义、记法、习惯记法。（记作A）；
第二张：本课时作业中的预习内容及提纲。
教学过程
（I）讲授新课
（检查预习情况）
师：这节课我们来学习反函数（板书课题）§2.4.1反函数的概念。
同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？
生：（略）
（学生回答之后，打出幻灯片A）。
师：反函数的定义着重强调两点：
（1）根据y=f(x)中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x=φ（y）；
（2）对于y在c中的任一个值，通过x=φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应。
师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。
师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？
生：一一映射确定的函数才有反函数。
（学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。
师：在y=f(x)中与y=f-1(y)中的x、y，所表示的量相同。（前者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自变量，y是函数值；后者y是自变量，x是函数值。）
在y=f(x)中与y=f–1(x)中的x都是自变量，y都是函数值，即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y是后者中的x。）
由此，请同学们谈一下，函数y=f(x)与它的反函数y=f–1(x)两者之间，定义域、值域存在什么关系呢？
生：（学生作答，教师板书）函数的定义域，值域分别是它的反函数的值域、定义域。
师：从反函数的概念可知：函数y=f(x)与y=f–1(x)互为反函数。
从反函数的概念我们还可以知道，求函数的反函数的方法步骤为：
（1）由y=f(x)解出x=f–1(y)，即把x用y表示出；
（2）将x=f–1(y)改写成y=f–1(x)，即对调x=f–1(y)中的x、y。
（3）指出反函数的定义域。
下面请同学自看例1
（II）课堂练习课本P68练习1、2、3、4。
（III）课时小结
本节课我们学习了反函数的概念，从中知道了怎样的映射确定的函数才有反函数并求函数的反函数的方法步骤，大家要熟练掌握。
（IV）课后作业
一、课本P69习题2.41、2。
二、预习：互为反函数的函数图象间的关系，亲自动手作题中要求作的图象。
板书设计
课题：求反函数的方法步骤：
定义：（幻灯片）
注意：小结
一一映射确定的
函数才有反函数
1．掌握对数函数的概念，图象和性质，且在掌握性质的基础上能进行初步的应用．
(1)能在指数函数及反函数的概念的基础上理解对数函数的定义，了解对底数的要求，及对定义域的要求，能利用互为反函数的两个函数图象间的关系正确描绘对数函数的图象．
(2)能把握指数函数与对数函数的实质去研究认识对数函数的性质，初步学会用对数函数的性质解决简单的问题．
2．通过对数函数概念的学习，树立相互联系相互转化的观点，通过对数函数图象和性质的学习，渗透数形结合，分类讨论等思想，注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力．
3．通过指数函数与对数函数在图象与性质上的对比，对学生进行对称美，简洁美等审美教育，调动学生学习数学的积极性．，全国公务员共同天地
教学建议
教材分析
(1)对数函数又是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生已经学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的基础上引入的．故是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解．对数函数的概念，图象与性质的学习使学生的知识体系更加完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸．它是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程，对数不等式的基础．
(2)本节的教学重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象性质．难点是利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质．由于对数函数的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，而且又是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上，故应成为教学的重点．
(3)本节课的主线是对数函数是指数函数的反函数，所有的问题都应围绕着这条主线展开．而通过互为反函数的两个函数的关系由已知函数研究未知函数的性质，这种方法是第一次使用，学生不适应，把握不住关键，所以应是本节课的难点．
教法建议
(1)对数函数在引入时，就应从学生熟悉的指数问题出发，通过对指数函数的认识逐步转化为对对数函数的认识，而且画对数函数图象时，既要考虑到对底数的分类讨论而且对每一类问题也可以多选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找出共性，归纳性质．
(2)在本节课中结合对数函数教学的特点，一定要让学生动手做，动脑想，大胆猜，要以学生的研究为主，教师只是不断地反函数这条主线引导学生思考的方向．这样既增强了学生的参与意识又教给他们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思有所得，练有所获，，从而提高学习兴趣．
教学设计示例
对数函数
教学目标
1.在指数函数及反函数概念的基础上，使学生掌握对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图像，掌握对数函数的性质，并初步应用性质解决简单问题．
2.通过对数函数的学习，树立相互联系，相互转化的观点，渗透数形结合，分类讨论的思想．
3.通过对数函数有关性质的研究，培养学生观察，分析，归纳的思维能力，调动学生学习的积极性．
教学重点，难点
重点是理解对数函数的定义，掌握图像和性质．
难点是由对数函数与指数函数互为反函数的关系，利用指数函数图像和性质得到对数函数的图像和性质．
教学方法
启发研讨式
教学用具
投影仪
教学过程
一.引入新课
今天我们一起再来研究一种常见函数．前面的几种函数都是以形式定义的方式给出的，今天我们将从反函数的角度介绍新的函数．
反函数的实质是研究两个函数的关系，所以自然我们应从大家熟悉的函数出发，再研究其反函数．这个熟悉的函数就是指数函数．
提问：什么是指数函数?指数函数存在反函数吗?
由学生说出是指数函数，它是存在反函数的．并由一个学生口答求反函数的过程：
由得．又的值域为，
所求反函数为．
那么我们今天就是研究指数函数的反函数-----对数函数．
2．8对数函数(板书)
一.对数函数的概念
1.定义：函数的反函数叫做对数函数．
由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发．如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗?最初步的认识是什么?
教师可提示学生从反函数的三定与三反去认识，从而找出对数函数的定义域为，对数函数的值域为，且底数就是指数函数中的，故有着相同的限制条件．
在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质．
二．对数函数的图像与性质(板书)
1.作图方法，全国公务员共同天地
提问学生打算用什么方法来画函数图像?学生应能想到利用互为反函数的两个函数图像之间的关系，利用图像变换法画图．同时教师也应指出用列表描点法也是可以的，让学生从中选出一种，最终确定用图像变换法画图．
由于指数函数的图像按和分成两种不同的类型，故对数函数的图像也应以1为分界线分成两种情况和，并分别以和为例画图．
1.使学生掌握指数函数的概念,图象和性质.
(1)能根据定义判断形如什么样的函数是指数函数,了解对底数的限制条件的合理性,明确指数函数的定义域.
(2)能在基本性质的指导下,用列表描点法画出指数函数的图象,能从数形两方面认识指数函数的性质.
(3)能利用指数函数的性质比较某些幂形数的大小,会利用指数函数的图象画出形如的图象.
2.通过对指数函数的概念图象性质的学习,培养学生观察,分析归纳的能力,进一步体会数形结合，全国公务员共同天地的思想方法.
3.通过对指数函数的研究,让学生认识到数学的应用价值,激发学生学习数学的兴趣.使学生善于从现实生活中数学的发现问题,解决问题.
教学建议
教材分析
(1)指数函数是在学生系统学习了函数概念,基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的,它是重要的基本初等函数之一,作为常见函数,它既是函数概念及性质的第一次应用,也是今后学习对数函数的基础,同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以指数函数应重点研究.
(2)本节的教学重点是在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和性质.难点是对底数在和时,函数值变化情况的区分.
(3)指数函数是学生完全陌生的一类函数,对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的重要问题,所以从指数函数的研究过程中得到相应的结论固然重要,但更为重要的是要了解系统研究一类函数的方法,所以在教学中要特别让学生去体会研究的方法,以便能将其迁移到其他函数的研究.
教法建议
(1)关于指数函数的定义按照课本上说法它是一种形式定义即解析式的特征必须是的样子,不能有一点差异,诸如,等都不是指数函数.
(2)对底数的限制条件的理解与认识也是认识指数函数的重要内容.如果有可能尽量让学生自己去研究对底数,指数都有什么限制要求,教师再给予补充或用具体例子加以说明,因为对这个条件的认识不仅关系到对指数函数的认识及性质的分类讨论,还关系到后面学习对数函数中底数的认识,所以一定要真正了解它的由来.
关于指数函数图象的绘制,虽然是用列表描点法,但在具体教学中应避免描点前的盲目列表计算,也应避免盲目的连点成线,要把表列在关键之处,要把点连在恰当之处,所以应在列表描点前先把函数的性质作一些简单的讨论,取得对要画图象的存在范围,大致特征,变化趋势的大概认识后,以此为指导再列表计算,描点得图象.
教学设计示例，全国公务员共同天地
课题指数函数
教学目标
1.理解指数函数的定义,初步掌握指数函数的图象,性质及其简单应用.
2.通过指数函数的图象和性质的学习,培养学生观察,分析,归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法.
3.通过对指数函数的研究,使学生能把握函数研究的基本方法,激发学生的学习兴趣.
教学重点和难点
重点是理解指数函数的定义,把握图象和性质.
难点是认识底数对函数值影响的认识.
教学用具
投影仪
教学方法
启发讨论研究式
教学过程
一.引入新课
我们前面学习了指数运算,在此基础上,今天我们要来研究一类新的常见函数-------指数函数.
1.6.指数函数(板书)
这类函数之所以重点介绍的原因就是它是实际生活中的一种需要.比如我们看下面的问题:
问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂次后,得到的细胞分裂的个数与之间,构成一个函数关系,能写出与之间的函数关系式吗?
由学生回答:与之间的关系式,可以表示为.
问题2:有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,……剪了次后绳子剩余的长度为米,试写出与之间的函数关系.
由学生回答:.
在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别,从形式上幂的形式,且自变量均在指数的位置上,那么就把形如这样的函数称为指数函数.
一.指数函数的概念(板书)
1.定义:形如的函数称为指数函数.(板书)
教师在给出定义之后再对定义作几点说明.
2.几点说明(板书)
一、初中数学函数学习的意义与价值
函数学习在初中数学教学中具有重要的意义和价值．首先，函数学习能培养学生的应用能力和意识．其次，函数规律的探索，能提高学生的创新意识与发掘能力．最后，趣味性的函数学习，能够激发学生的兴趣，提高学生的数学综合能力．在函数教学中，教师要有意识地设计一些符合学生特点、具有趣味性的探索实践活动，让学生亲身实践，激发学生的学习兴趣，提高数学学习效果．
二、初中数学函数教学策略
1．基于现实生活进行函数问题的设计
数学知识来源于现实，学以致用是数学学习的根本目的．在设计函数探究问题时，教师应该基于生活中的实际现象去考虑，引入日常生活的常见事例，吸引学生的注意力，激发他们的学习兴趣，引导学生积极主动地思考．例如，在讲“二次函数所描述的关系”时，教师可以设计这样的函数问题:增加多少橙子树，能保证橙子的总产量达到最多?这样的问题，与实际生活紧密相连，引导学生尝试利用函数求值的方法进行解决，效果较为理想．同时，如果课堂上的函数问题都来源于生活实际，学生便能深切地感受到数学学习与实际生活息息相关，这对于促进学生明确学习目标有重要意义．
2．以趣味性为导向来开展函数教学
趣味性指的是学生在函数学习中渴望了解知识、探索问题的趋向性．研究表明，初中生每节课的集中注意力时间为15分钟左右．如果所学内容是他们感兴趣的，那么注意力时间会相对增加．在函数教学中，教师应该尽可能地以趣味性为导向，激发学生的学习兴趣．例如，在讲“函数表达式”时，教师可以引导学生思考:随着时间的变化，银行的储蓄利率也会变化．假设一年定期年利率为x，到期后，本金与利息将自动按照一年期转存．那么，倘若存款金额为200元，请思考两年后的本息与利息的和y(元)的函数表达式．银行利率是学生较为感兴趣的问题，教师以这样的问题设置来开展教学，学生在课堂上讨论思考时也会较为认真和积极．又如，在讲“抛物线”时，教师引导学生观察，课本中部分动物身体的轮廓类似于抛物线的形状，然后请学生思考:还有没有其他的动物或植物有这样的特征?以这样的话题开展函数教学，能提高学生的学习兴趣．
3．利用典型范例，培养学生的数学思维能力
初中数学教材中的函数例题具有很强的典型性，是函数知识的实际应用，对于学生思维方法的培养、解决问题能力的提升具有重要意义．因此，教师应该充分利用这些典型的例题，对学生产生正面的迁移效应．范例教学能够通过特殊的函数例题，帮助学生掌握一般的函数值，并借助这些函数值去发现和解决实际生活中的多种问题．同时，深入透彻的范例教学，还能引起学生内心的共鸣，让学生对同类的数学内容有较为全面的认识，激发他们的学习兴趣，促使他们能积极主动地学习．在函数教学中，教师应该利用教材中的典型例题，将这些例题的内涵深入挖掘并适当延伸，组织学生进行观察、猜测、比较、引申和联想等，将各个函数知识点连接成线、成面，从而构建起完善的函数学习体系，培养学生的数学思维能力．
4．初中数学函数教学案例剖析
例如，在讲“一次函数与一元一次方程”时，本节内容的重点是教会学生用函数观点了解一元一次方程，并利用函数知识进行一元一次方程的求解．首先，进行一元一次方程与一次函数的一般形式、解析式等相关知识的回顾．在此基础上，教师给出这样的问题:(1)解方程2x+20=0;当x=时，函数y=2x+20的值为0．并引导学生思考，通过上述问题，能发现函数与方程之间有怎样的关系?然后，教师组织学生分小组讨论，并总结出，函数值等于0时自变量的值，即为方程的解．接着，教师结合课本上的典型例题，让学生进行自主练习:利用图象求方程x+2=6x－3的解．(引导学生分析:可以先将此方程转换为ax+b=0的一般形式，然后在坐标系中将y=ax+b的图象画出来，观察找出直线和x轴之间的交点，以此解出x的值)最后，在本节结束后，组织学生进行自我思考和评价，总结本节课自己做对了几道题，做错了几道题，原因是什么?并选择合适的练习题，让学生在课后进行巩固练习．如此，学生能对所学的函数内容进行深入的了解和掌握．
三、结语
1.函数概念的教学
在中学数学教学中，函数是最重要的概念之一，函数概念深刻反映了客观世界的运动变化与实际事物的量与量之间的依存关系，它告诉人们一切事物都在不断地变化着，而且相互联系、相互制约。因而函数概念是培养学生的辩证唯物主义观点、解决实际问题的有力工具。函数概念不仅与中学数学中的重要内容(如数、式、方程等)有密切联系，而且是近代数学的主要基础。由于函数思想充分体现了集合、对应、映射等基本数学思想，因而就使中学数学能接近数学科学的现代水平，进而使学生获得基本的深刻的有用的高等数学思想方法［1］。
关于函数与函数值函数的传统记号是f(x)或y=f(x)或f(x，y)=0，学生常常搞不清哪个是哪个的函数。如果设函数的集合为A，那么f(x)∈A所表示的是函数值属于A，这种表示就错了。同样y=f(x)∈A或f(x，y)=0∈A也是错的。我们所指的函数是f，记号f∈A才是正确的。函数f是指将f(x)指派给x，如lg是将lgx指派给x。
例1.f(x)=2x+1，求f(x-1)，f［f(x)］，并说明f(x)与f(x-1)是否为同一函数。
解：f(x-1)=2(x-1)+1=2x-1
f［f(x)］=2f(x)+1=2(2x+1)+1=4x+3
显然f(x)与f(x-1)不是同一函数，这里虽然定义域、值域都相同，但对于x来说，“对应法则”是完全不同的。
例2.已知y=f(x)的定义域为［0，1］的函数，求f(x-1)的定义域。
分析：f(x-1)中自变量应是“x”，而非“x-1”，因此求定义域，即求x的取值范围。
解：由已知0≤x-1≤1有1≤x≤2，
解之得1≤x≤或-≤x≤-1，
f(x-1)定义域为{x|1≤x≤或-≤x≤-1}。
例3.判定函数f(x)=1，f(x)=sinx+cosx二者是否为同一函数。
从形式上讲，无论如何也不能断言这两个函数相等;而从本质上讲，对于任意实数x，sinx+cosx=1又无可非议，因而f(x)=f(x)，所以不管对应法则如何千变万化，抓住函数概念的实质便不会产生理解上的歧义。又如函数f(x)=x，f(x)=是不同的两个函数。因此正确理解函数的概念，要从函数的三要素(定义域、值域、对应法则)入手，逐一考查。
2.函数性质的教学
研究函数的性质，不仅可以加深对函数的认识、理解、掌握，更重要的是可以利用函数的性质解决相关的数学问题［3］。对函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念，我们已经形成初步认识。在数学研究中，建立一个数学概念的意义就是揭示它的本质特征，即共同属性或不变属性，亦即“变中不变”的性质。作为教学活动的第一环节，课题的提出应该是自然的，学生容易产生共鸣。目前中学对这个内容普遍采用照字面意义讲解定义的方法，以教师讲解为主，虽然也有启发引导，但总体上缺少学生的主动活动，特别是缺少学生自己的思维构造，本质上是缺少一个“建构”的过程。其实，对于如何用探究的方法对“函数单调性”进行建构学习，让学生经历思维构造的过程，一些中学教师很关注，向往解决，并进行了尝试，但不尽人意，感觉较难处理，有待突破。
3.教学案例及分析
课例1：函数的单调性。
授课时间：2008年11月14日。
授课地点：攀枝花某中学高一(3)班。
教学目标：理解函数单调性的概念，把握函数单调性的实质;掌握判断和证明一些简单函数单调性的方法和步骤。
教学过程：
（1）启发引入阶段。
师：请同学们作出下列三个函数的图像：(1)y=-x；(2)y=|x-2|；(3)y=。(教师巡视)
(几分钟后，请两位学生画(1)，(2)和(3)的图像，请其他学生与黑板上的核对有什么不同。)
(2)阅读书本阶段。
师：对照书上给出的单调性定义，强调增函数、减函数是在区间上。而区间很重要，是自变量与函数值的关系。这里x，x的任意性是非常重要的。对照书本再看一下概念，单调区间。
（3）解疑、训练阶段。
例题讲解，证明函数f(x)=-x+1是R上的减函数。简析：这个课例比较明显地表现为一个学生学习的发现过程，比较多地表现为概念形成过程。教师呈现了一个观察三个函数的共性的问题情境，通过这个情境，引导学生认识函数单调性的本质。然后在这一理解与认识的基础之上给出书上的形式化定义，完善学生对于单调性的数学理解，并通过证明练习，巩固新知识的获得，整个过程设计得完整、合理，符合学生的认知与思维特点。
案例2：函数的概念。
授课地点：攀枝花某中学高一(3)班。
教学目标：
（1）知识与技能
①了解函数是特殊的数集之间的对应，理解函数的概念，了解构成函数的要素。
②了解“区间”“无穷大”等概念，掌握区间的符号表示。
（2）过程与方法
①进一步体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，能用集合与对应的语言刻画函数概念中的作用。
②通过现实事物本质，进行数学抽象与概括，重视其经历，总结经验，体会由具体逐步过渡到符号化、代数式化的数学思想。
（3）情感态度与价值观
①能对以往学过的知识理性化思考，对事物间的联系有一种数学化的思考。
②函数知识是学好数学后继知识的基础和工具，培养学生的抽象思维能力、渗透静与动的辩证唯物主义观点。
教学过程：
实例1：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，表中恩格尔系数随时问(年)变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。
从图表中的数据可以看出我国城镇居民家庭恩格尔系数在逐年减少。
4.结语
针对教学现状，结合函数历史，我认为中学函数教学应该加强以下几点。
(1)重视函数的概念教学
我国的教学一贯是注重运算推理与解题技能，而对知识的产生过程漠不关心，其结果只能是空中楼阁，所以我们应该重视函数的概念教学。调查结果表明，学生对函数的认识是多样的，历史上不同时期、不同的数学家的观点也是各不相同的，因此概念的教学还应该多样化［4］。例如在解决有关指数函数、对数函数的定义域和值域的问题时，采用“变量”观点给出的定义，这样便于突出y随x的变化情况;在讲述反函数概念时，应采用“解析式”观点给出的定义，以显示原函数和反函数在定义域、值域、对应法则上的联系;在引入一些特殊的函数时(如问题4中的D)，使用“映射”观点给出的定义;在处理关于函数的单调性、对称性、周期性等综合性问题时，不妨借助于图形，使用“图像”观点给出的定义［5］。
(2)丰富和修正学生的函数表象
由于函数表象和函数定义的分离学生对函数的认识并不理想。学生在某场合是利用函数表象来处理问题的，而错误和狭隘的表象会给学生造成障碍。在教学中，我们应抛开课本和参考书的局限，尽可能多地让学生接触函数例子和相关问题(Clement，2001)，尤其在高中阶段对函数有了一定的认识之后。从历史上看，人们对函数概念的认识是通过一些具体函数来深化的，如柯西根据函数y=x(x≥0)-x(x＜0)和函数y=是同一函数而修改了前人的定义;狄里克雷也是由于发现了著名的狄里克雷函数而重新定义了函数。
(3)为学生提供充分的讨论机会
在历史上，函数概念正是在众多数学家的讨论和争辩中发展和完善的，一种定义、一个函数都要经过他人的检验和接受［6］。因此在正常教学的基础上，我们应当多创设机会，让学生对一些典型问题展开讨论，在讨论中明辨是非，巩固概念，全面地认识函数的各个方面。
(4)在教学中应用现代信息技术
教学与信息技术的整合势在必行，我国(至少是教育落后地区)在这方面差得很远，测试中没有一个学生能把函数看成是“加工机”或“程序”等，而国外早就有这方面的案例(Tall 1992;Kieran 1993)。利用图像对问题进行分析，或根据图像设计问题，这样对函数的图像教学及对函数的理解都会有帮助作用［7］。
(5)将函数的历史融入教学
历史对教学的作用己经受到关注，HPM研究方兴未艾。学生的函数定义与历史上的定义具有相似性，学生学习中遇到的疑惑在历史上也存在过，因此在函数的教学中，如果能恰当地融入历史，无疑会改善我们的教学［8］。
参考文献：
［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)［S］.北京：人民教育出版社，2003.
［2］张维忠.文化视野中的数学与数学教育［M］.北京：人民教育出版社，2005.
［3］张维忠，汪晓勤等.文化传统与数学教育现代化［M］.北京：北京大学出版社，2006.
［4］徐永忠.“阅读材料”教学现状分析与建议［J］.数学通报，2004，4.
［5］尚志，孔启平.培养学生的应用意识是数学课程的目标［J］.数学教育学报，2002，11（2）：43-44.
［6］林全.我国数学课程改革的新发展［J］.中学数学研，2000，（5）：1-2.
［7］刘晓玫，杨裕前.关于推理能力问题的几点思考［J］.数学教育学报，2002，11（2）：54-55.
1.理解指数函数的定义,初步掌握指数函数的图象,性质及其简单应用.
2.通过指数函数的图象和性质的学习,培养学生观察,分析,归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法.
3.通过对指数函数的研究,使学生能把握函数研究的基本方法,激发学生的学习兴趣.
教学重点和难点
重点是理解指数函数的定义,把握图象和性质.
难点是认识底数对函数值影响的认识.
教学用具
投影仪
教学方法
启发讨论研究式
教学过程
一.引入新课
我们前面学习了指数运算,在此基础上,今天我们要来研究一类新的常见函数-------指数函数.
1.6.指数函数(板书)
这类函数之所以重点介绍的原因就是它是实际生活中的一种需要.比如我们看下面的问题:
问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂次后,得到的细胞分裂的个数与之间,构成一个函数关系,能写出与之间的函数关系式吗?
由学生回答:与之间的关系式,可以表示为.
问题2:有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,……剪了次后绳子剩余的长度为米,试写出与之间的函数关系.
由学生回答:.
在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别,从形式上幂的形式,且自变量均在指数的位置上,那么就把形如这样的函数称为指数函数.
一.指数函数的概念(板书)
1.定义:形如的函数称为指数函数.(板书)
教师在给出定义之后再对定义作几点说明.
2.几点说明(板书)
(1)关于对的规定:
教师首先提出问题:为什么要规定底数大于0且不等于1呢?(若学生感到有困难,可将问题分解为若会有什么问题?如,此时,等在实数范围内相应的函数值不存在.
若对于都无意义,若则无论取何值,它总是1,对它没有研究的必要.为了避免上述各种情况的发生,所以规定且.
(2)关于指数函数的定义域(板书)
教师引导学生回顾指数范围,发现指数可以取有理数.此时教师可指出,其实当指数为无理数时,也是一个确定的实数,对于无理指数幂,学过的有理指数幂的性质和运算法则它都适用,所以将指数范围扩充为实数范围,所以指数函数的定义域为.扩充的另一个原因是因为使她它更具代表更有应用价值.
(3)关于是否是指数函数的判断(板书)
刚才分别认识了指数函数中底数,指数的要求,下面我们从整体的角度来认识一下,根据定义我们知道什么样的函数是指数函数,请看下面函数是否是指数函数.
(1),(2),(3)
(4),(5).
学生回答并说明理由,教师根据情况作点评,指出只有(1)和(3)是指数函数,其中(3)可以写成,也是指数图象.
最后提醒学生指数函数的定义是形式定义,就必须在形式上一摸一样才行,然后把问题引向深入,有了定义域和初步研究的函数的性质,此时研究的关键在于画出它的图象,再细致归纳性质.
3.归纳性质
作图的用什么方法.用列表描点发现,教师准备明确性质,再由学生回答.
函数
1.定义域:
2.值域:
3.奇偶性:既不是奇函数也不是偶函数
4.截距:在轴上没有,在轴上为1.
对于性质1和2可以两条合在一起说,并追问起什么作用.(确定图象存在的大致位置)对第3条还应会证明.对于单调性,我建议找一些特殊点.,先看一看,再下定论.对最后一条也是指导函数图象画图的依据.(图象位于轴上方,且与轴不相交.)
在此基础上,教师可指导学生列表,描点了.取点时还要提醒学生由于不具备对称性,故的值应有正有负,且由于单调性不清,所取点的个数不能太少.
此处教师可利用计算机列表描点,给出十组数据,而学生自己列表描点,至少六组数据.连点成线时,一定提醒学生图象的变化趋势(当越小,图象越靠近轴,越大,图象上升的越快),并连出光滑曲线.
二.图象与性质(板书)
1.图象的画法:性质指导下的列表描点法.
2.草图:
当画完第一个图象之后,可问学生是否需要再画第二个?它是否具有代表性?(教师可提示底数的条件是且,取值可分为两段)让学生明白需再画第二个,不妨取为例.
此时画它的图象的方法应让学生来选择,应让学生意识到列表描点不是唯一的方法,而图象变换的方法更为简单.即=与图象之间关于轴对称,而此时的图象已经有了,具备了变换的条件.让学生自己做对称,教师借助计算机画图,在同一坐标系下得到的图象.
最后问学生是否需要再画.(可能有两种可能性,若学生认为无需再画,则追问其原因并要求其说出性质,若认为还需画,则教师可利用计算机再画出如的图象一起比较,再找共性)
由于图象是形的特征,所以先从几何角度看它们有什么特征.教师可列一个表,如下:
以上内容学生说不齐的,教师可适当提出观察角度让学生去描述,然后再让学生将几何的特征,翻译为函数的性质,即从代数角度的描述,将表中另一部分填满.
填好后,让学生仿照此例再列一个的表,将相应的内容填好.为进一步整理性质,教师可提出从另一个角度来分类,整理函数的性质.
3.性质.
(1)无论为何值,指数函数都有定义域为,值域为,都过点.
(2)时,在定义域内为增函数,时,为减函数.
(3)时,,时,.
总结之后,特别提醒学生记住函数的图象,有了图,从图中就可以能读出性质.
三.简单应用(板书)
1.利用指数函数单调性比大小.(板书)
一类函数研究完它的概念,图象和性质后,最重要的是利用它解决一些简单的问题.首先我们来看下面的问题.
例1.比较下列各组数的大小
(1)与;(2)与;
(3)与1.(板书)
首先让学生观察两个数的特点,有什么相同?由学生指出它们底数相同,指数不同.再追问根据这个特点,用什么方法来比较它们的大小呢?让学生联想指数函数,提出构造函数的方法,即把这两个数看作某个函数的函数值,利用它的单调性比较大小.然后以第(1)题为例,给出解答过程.
解:在上是增函数,且
<.(板书)
教师最后再强调过程必须写清三句话:
(1)构造函数并指明函数的单调区间及相应的单调性.
(2)自变量的大小比较.
(3)函数值的大小比较.
后两个题的过程略.要求学生仿照第(1)题叙述过程.
例2.比较下列各组数的大小
(1)与;(2)与;
(3)与.(板书)
先让学生观察例2中各组数与例1中的区别,再思考解决的方法.引导学生发现对(1)来说可以写成,这样就可以转化成同底的问题,再用例1的方法解决,对(2)来说可以写成,也可转化成同底的,而(3)前面的方法就不适用了,考虑新的转化方法,由学生思考解决.(教师可提示学生指数函数的函数值与1有关,可以用1来起桥梁作用)
最后由学生说出>1,<1,>.
解决后由教师小结比较大小的方法
(1)构造函数的方法:数的特征是同底不同指(包括可转化为同底的)
(2)搭桥比较法:用特殊的数1或0.
三.巩固练习
练习:比较下列各组数的大小(板书)
(1)与(2)与;
(3)与;(4)与.解答过程略
四.小结
1.指数函数的概念
2.指数函数的图象和性质
一、在初中阶段进行函数有关内容的学习的重要意义
函数关系表示的是量与量之间的关系，即一个量随另一个量的变化而变化，而凡是涉及量的关系，都可以用函数去表达，因此，学好函数对于学生今后的学习、工作等都会有重要的帮助。高中阶段的代数学习内容以函数为主，且内容较为复杂、抽象，而初中阶段学习函数则是为了今后的更加深入系统的学习做铺垫。以初中数学本身的知识而言，二次不等式、解三角形等都需要用到函数的有关知识，而在其他学科某些问题的解决，如物理学科中的匀速运动、抛射运动等，也要具备相应的函数知识，因此在初中阶段进行函数有关内容的学习具有重要意义。
函数在数学学科中具有重要地位，也是初中以及高中数学课本中的重要教学内容，同时也被广泛应用于其他学科以及领域的研究和发展之中。而对函数的学习，学生并不能简单记忆，还需要掌握相应的方法以及思维能力，明白各种函数之间的联系，并能将其运用到实践当中。例如，在进行反比例函数概念的教学时，通常会经历以下教学过程：引入实例（如长方形的面积固定，长与宽的关系；商品总价固定，单价与数量的关系等）―引导学生找出本质、共同点，加以概括（函数关系、反比例关系）―下定义―进行概念的辨析―给出例题，掌握反比例函数操作步骤―与其他已学函数形式作比较，进行反思。实际上，其他相关的函数类型的教学通常也会经历以上过程，掌握了基本的学习模式，也会给今后的函数学习打下良好的思维基础。这也是一种从特殊到一般的学习方法，在其他学科的学习中，只要能掌握相应的规律，也同样会收到意想不到的学习效果。
二、加强函数思想的渗透
1.在函数教学过程中注重培养学生思维的广阔性
要想学好函数，学生就需要具有灵活广阔的数学思维，能够全面多角度地进行问题的分析和思考，而学生本身的数学思维是需要教??进行有效引导的。在教学过程中，教师应当加强对数学问题的特征、差异和隐含关系进行具体分析，使学生熟能生巧，在潜移默化中开阔数学思维。
2.在函数教学过程中注重培养学生思维的深刻性
数学知识的学习是理解与记忆相辅相成的过程，要想使学生更好地进行知识的记忆，教师需要在既定知识的基础上学会抽象概括，深刻理解，严密推理。尤其是在初中函数部分的有关内容学习时，存在一些相近或者相似的内容，学生只有对各部分知识的理解更加深刻，能够抓住问题的本质，才能更好地去解决问题。
例：运用所学知识解以下三个问题：
（1）设x1，x2是方程4x2+6x-1=0的根，求x21+x22的值。
（2）已知二次函数y=4x2+6x-1的图象与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）。求x1+x2的值。
（3）已知a，b为不等的两个实数，且4a2+6a-1=0，4b2+6b=1，求a+b的值。
虽然从表面上看，以上三个问题涉及的知识点不同，但是从本质上来说，三个问题都是要求一元二次方程4x2+6x-1=0的两个不相等的实根，都可用“根与系数的关系”进行解题。在教学中，教师应当引导并培养学生学会抓住问题的本质去解决问题，从而对各类相关知识点的理解更加深刻，使学生的数学思维更加灵活。
3.在函数教学过程中注重培养学生思维的灵活性
关键词：函数图像；数学思想；教学
一、加强定义教学，理解函数的概念
在学生产生了变量之间是存在相互联系的意识后，那么理解函数概念的准备工作就已完成，此时可以及时地给出函数定义。向学生讲清楚“某一过程两个变量，一个变量任意取值，另一个变量唯一确定的值与之对应”的意义。在教授函数概念时，要重点强化这两种意识，让学生清醒地感受到这两种意识，然后再教给学生自变量、函数的一些名称，并训练学生运用这些名词来叙述变量之间的关系。
接着我们在以后的具体函数的教学中不断使学生理解函数概念的内涵，例如在相似三角形中，每一对对应边的数量关系就构成了正比例函数关系等。用这些具体例子使学生清楚地认识到两个变量之间的依存关系，认识到它们的共同特征，这样就加强了学生对函数性质的理解。
二、建立函数模型，渗透建模的思想
函数知识体现了数学建模思维的过程，要根据提供的信息与材料，对问题进行变形。在解题过程中，重要的就是据题意列出方程，从而使学生懂得，数学建模过程就是根据实际问题，通过观察、类比、归纳、概括等，通过变换问题构造新的数学模型来解决问题。结合课题的学习，培养学生建立数学模型能力、实践能力及创新能力，拓展数学建模形式的多样性与活泼性。数学模型这一思想方法贯穿于整个函数知识学习过程，建立函数表达式等都孕育着数学模型的思想。为了完善学生的数学建模思想，应该培养学生这样的能力：理解实际问题的能力，抓住系统知识点的能力，抽象分析问题的能力，把实际问题用数学符号表达出来的能力，形成数学模型的能力和把结果用数学语言表达的能力，运用数学知识的能力。只有学会建立数学模型，才能对数学知识触类旁通，举一反三，才能解决实际问题。
三、彰显数学思想，体味万变不离其宗
如果加强对学生进行方法指导，并且对学生将数学思想进行潜移默化的培养，其学习效率一定会大大提高。笔者在教学时做了如下实验：每人点燃一柱长度为26cm的香，让学生回答观察到的实验现象。学生通过实验知道：香的长度随着时间的推移逐渐变短。紧接着让学生思考：香的长度y和香的燃烧时间x之间到底有怎样的函数关系呢？学生无法回答。然后再次实验：每隔1分钟，记录一下香的长度，根据记录的数据，要求学生：从这张表格中能获取哪些信息？
（1）用x轴表示香的燃烧时间，用y轴表示香的长度，建立平面直角坐标系：分别描出点（0，26）、（1，25.3）、（2，24.59）、（3，23.9）、（4，23.18）、（5，22.5 ）。
（2）把所画的几个点连起来，选择部分学生所画的图形，利用实物投影仪进行投影，比较学生自己所画的图形，从中发现了什么？
（3）一炷香的长度为26 cm，香的长度y（cm）和点燃时间x（min）之间的函数关系式是y=26-0.7x。在此基础上质疑：函数y=26-0.7x是什么类型的函数？由此猜想，一次函数的图像很可能就是一条直线。通过实验，学生获得一次函数图像的初步印象。
四、层层剖析，展示多样化手法
教学目标
1、知道一次函数与正比例函数的定义.
2、理解掌握一次函数的图象的特征和相关的性质;体会数形结合思想。
3、弄清一次函数与正比例函数的区别与联系.
教学重、难点
重点：初步构建比较系统的函数知识体系，能应用本章的基础知识熟练地解决数学问题。
难点：对直线的平移法则的理解，体会数形结合思想。
教学过程
1、一次函数与正比例函数的定义 ：
一次函数：一般地，若y=kx+b(其中k,b为常数且k≠0，那么y是一次函数
正比例函数：对于 y=kx+b，当b=0, k≠0时，有y=kx,此时称y是x的正比例函数，k为正比例系数。
2. 一次函数与正比例函数的区别与联系：
(1从解析式看：y=kx+b(k≠0，b是常数是一次函数;而y=kx(k≠0，b=0是正比例函数，显然正比例函数是一次函数的特例，一次函数是正比例函数的推广。
(2从图象看：正比例函数y=kx(k≠0的图象是过原点(0，0的一条直线;而一次函数y=kx+b(k≠0的图象是过点(0，b且与y=kx平行的一条直线。
基础训练一：
(1、指出下列函数中的正比例函数和一次函数：①y = x +1;②y = - x/5;
③y = 3/x ;④y = 4x ;⑤y =x(3x+1-3x ;⑥y=3(x-2;⑦y=x/5-1/2。
(2、下列给出的两个变量中，成正比例函数关系的是：
A、少年儿童的身高和年龄;B、长方形的面积一定，它的长与宽;
C、圆的面积和它的半径;D、匀速运动中速度固定时，路程与时间的关系。
(3、对于函数y =(m+1x + 2- n，当m、n满足什么条件时为正比例函数?当m、n满足什么条件时为一次函数?
3、正比例函数、一次函数的图象和性质：
k,b的符号与直线y=kx+b(k≠0 的位置关系：
k的符号决定了直线y=kx+b(k≠0 ;b的符号决定了直线y=kx+b与y轴的交点 。当k>0时，直线 ; 当k<0时，直线 。
当b>0时，直线交于y轴的 ;当b<0时，直线交于y轴的 。
为此直线y=kx+b(k≠0 的位置有4种情况，分别是：
当k>0， b>0时，直线经过 ;当k>0， b<0时，直线经过 ;
当k<0，b>0时，直线经过 ;当k<0，b<0时，直线经过 。
基础训练二：
1. 写出一个图象经过点(1，- 3的函数解析式为 。
2.直线y = - 2X - 2 不经过第 象限，y随x的增大而 。
3.如果P(2，k在直线y=2x+2上，那么点P到x轴的距离是 。
4.已知正比例函数 y =(3k-1x,,若y随x的增大而增大，则k是 。
5、过点(0，2且与直线y=3x平行的直线是 。
6、若正比例函数y =(1-2mx 的图像过点A(x1，y1和点B(x2，y2当x1y2,则m的取值范围是 。
7、若函数y = ax+b的图像过一、二、三象限，则ab 。0
8、若y-2与x-2成正比例，当x=-2时,y=4,则x= 时,y = -4。
9、直线y=- 5x+b与直线y=x-3都交y轴上同一点，则b的值为 。
10、将直线y = -2x-2向上平移2个单位得到直线 ;
将它向左平移2个单位得到直线 。
综合训练：已知圆O的半径为1，过点A(2，0的直线切圆O于点B，交y轴于点C。(1求线段AB的长。(2求直线AC的解析式。
