如何能够通过一种教学方式使得学生在教学过程中参与度提高，对教学内容的兴趣也提高并且能够时常激发学生的好奇心和新鲜感以及他们的求知欲，同时又能达到多题重组以及一题多用的目的。而这种通过对数学中的定理和命题以不同层次、不同背景、不同角度以及不同情形来揭露问题本质，让学生看到不同知识点之间的内在联系的教学方式，我们称之为变式教学。下面是通过应用二次函数的顶点坐标求最值的例子来说明上面的理论：某水果批发商以每箱40元批发一批苹果，若以50元每箱的价格卖出去，一天平均可以卖出90箱，如果每箱的卖价提高1块钱，则平均每天就会少卖3箱。假设卖价每箱为x元，批发商每天的销售利润为y元则：
（1)销售利润y=__；
（2）销售单价是__元时，该批发商获利最大，此时最大利润是__。变式一:如果以“每箱苹果价格每减少1块钱，平均每天就会多卖出3箱”来代替“每箱苹果的价格每增加1块钱，平均一天就会少卖出3箱”，那么又会得出什么样的结果？变式二:如果用“每箱苹果价格每增加10块钱，每天就是少卖3箱苹果”来替换“每箱苹果每增加1块钱，每天就会少卖3箱”，这样会得出什么样的结果？通过这种针对同一题目做条件上的变化的教学方式，不仅使学生更好地理解和体会出数学建模思想，而且使学生对这一类型的问题的理解得到加深。
二、简约式教学法的运用
为了避免学生不知道为什么做题，只知道一味的去做题，陷入题海战的现象发生，教师可以根据人教版线性函数教学模块的安排来引导学生，参照“实例引入--概念推出--图像画法--性质归纳--综合应用”的顺序，以引导学生进行函数概念分析、性质的归纳和应用，以及画法等环节作为教学的重点，提高学生的做题效率，同时使学生更容易的接受和理解初中线性函数问题。例如，在讲述一次函数章节时，可以先通过实际现象进行问题的引出，如可以先讲述气温与海拔的关系进而引出一次函数，并通过多个生活常见实例进行一次函数的定义。得到y=kx+b（（k≠0）k,b为常数)的一次函数公式后，再逐步深入讲解。当b=0时，则得到y=kx（k≠0）称之为正比例函数，当b≠0时，通过具体的函数实例与图像进行进一步探讨。如y=2x与y=2x+3这样的一次函数，通过绘画图像并总结与相应的特点与性质，只有清楚了相关函数的特点，就能在以后的函数中建立相应的函数解题模型与方法。
三、函数图像解读法的应用
与抽象的图像数据相比，图像在表现数学知识方面显得更加的直观和清晰。因此，为了使学生更好的理解掌握函数知识，在数学教学过程中，教师应该更多的应用函数图像，一方面这种方式可以使变量的表达更加的直观，能够清晰明了的表达出变量之间的相互约束、相互限制的关系；另一方面，这种直观的函数图像能够使思维理解能力稍有不足的学生可以更牢固的记忆函数变量之间的关系，使学生更好地掌握函数知识。这种图像教学方式要求老师在课堂教学中能够时常的带领学生挑选代表性的函数，并且带领学生进行函数图像的绘制。绘图就会耽误一定的上课时间，但是这样做不仅能够让学生更好的理解函数，同时还能够提高学生的动手能力。初中大多数的函数老师总结出这样的结论，一般不会绘制函数图像的学生都很难把函数学好，关键原因是他们不理解函数变量之间的关系，没有正确理解函数的概念。所以，教师如何利用函数图象教学变得十分的重要，如何通过教学生绘制函数效果图来提高学生的学习质量和函数教学对初中函数教学来说显得尤为关键。
四、结语
关键词：函数；对应；映射；数形结合
1要把握函数的实质
17世纪初期，笛卡尔在引入变量概念之后，就有了函数的思想，把函数一词用作数学术语的是莱布尼兹，欧拉在1734年首次用f(x)作为函数符号。关于函数概念有“变量说”、“对应说”、“集合说”等。变量说的定义是：设x、y是两个变量，如果当变量x在实数的某一范围内变化时，变量y按一定规律随x的变化而变化。我们称x为自变量，变量y叫变量x的函数，记作y=f(x)。初中教材中的定义为：如果在某个变化过程中有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值与之对应，那么y就是x的函数，x叫自变量，x的取值范围叫函数的定义域，和x的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域。它的优点是自然、形像和直观、通俗地描述了变化，它致命的弊端就是对函数的实质——对应缺少充分地刻画，以致不能明确函数是x、y双方变化的总体，却把y定义成x的函数，这与函数是反映变量间的关系相悖，究竟函数是指f，还是f(x)，还是y=f(x)?使学生不易区别三者的关系。
迪里赫莱（P.G.Dirichlet）注意到了“对应关系”，于1837年提出：对于在某一区间上的每一确定的x值，y都有一个或多个确定的值与之对应，那么y叫x的一个函数。19世纪70年代集合论问世后，明确把集合到集合的单值对应称为映射，并把：“一切非空集合到数集的映射称为函数”，函数是映射概念的推广。对应说的优点有：①它抓住了函数的实质——对应，是一种对应法则。②它以集合为基础，更具普遍性。③它将抽像的知识以模型并赋予生活化，比如：某班每一位同学与身高（实数）的对应；某班同学在某次测试的成绩的对应；全校学生与某天早上吃的馒头数的对应等都是函数。函数由定义域、值域、对应法则共同刻划，它们相互独立，缺一不可。这样很明确的指出了函数的实质。
对于集合说是考虑到集合是数学中一个最原始的概念，而函数的定义里的“对应”却是一个外加的形式，，似乎不是集合语言，1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）采用了纯集合论形式的定义：如果集合fС{(x，y)|x∈A，y∈B}且满足条件，对于每一个x∈A，若(x，y1)∈f，(x，y2)∈f，则y1=y2，这时就称集合f为A到B的一个函数。这里f为直积A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}的一个特殊子集，而序偶（x，y）又是用集合定义的：（x，y）＝{{x}，{x，y}}.定义过于形式化，它舍弃了函数关系生动的直观，既看不出对应法则的形式，更没有解析式，不但不易为中学生理解，而且在推导中也不便使用，如此完全化的数学语言只能在计算机中应用。
2加强数形结合
数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽像概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。在7—12年级所研究的函数主要是幂函数、指数函数、对数函数和三角函数，对每一类函数都是利用其图像来研究其性质的，作图在教学中显得无比重要。我认为这一部分的教学要做到学生心中有形，函数图像就相当于佛教教徒心中各种各样的佛像，只要心中有形，函数性质就比较直观，处理问题时就会得心应手。函数观念和数形结合在数列及平面几何中也有广泛的应用。如函数y=log0.5|x2-x-12|单调区间，令t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|，t=0时，x=-3或x=4，知t函数的图像是变形后的抛物线，其对称轴为x=?与x轴的交点是x=-3或x=4并开口向上，其x∈(-3，4)的部分由x轴下方翻转到x轴上方，再考虑对数函数性质即可。又如：判定方程3x2+6x=1x的实数根的个数，该方程实根个数就是两个函数y=3x2+6x与y=1／x图像的交点个数，作出图像交点个数便一目了然。
3将映射概念下放
就前面三种函数概念而言，能提示函数实质的只有“对应说”，如果在初中阶段把“变量说”的定义替换成“对应说”的定义，可有以下优点：⑴体现数学知识的系统性，也显示出时代信息，为学生今后的学习作准备。⑵凸显数学内容的生活化和现实性，函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型。⑶变抽像内容形像化，替换后学生会感到函数概念不再那么抽像难懂，好像伸手会触摸到一样，身边到处都有函数。学生就会感到函数不再那么可怕，它无非是一种映射。只需将集合论的初步知识下放一些即可，学生完全能够接受，因为从小学第一学段就已接触到集合的表示方法，第二学段已接触到集合的运算，没有必要作过多担心。以前有人提出将概率知识下放的观点，当时不也有人得出反对意见吗？可现在不也下放到了小学吗？如果能下放到初中，就使得知识体系更完备，衔接更自然，学生易于接受，学生就不会提出“到底什么是函数？”这样的问题。
关键词：抽象函数；定义域；值域；对称性
抽象函数是一种重要的数学概念。我们把没有给出具体解析式，其一般形式为y=f(x)，且无法用数字和字母的函数称为抽象函数。由于抽象函数的问题通常将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像集于一身。这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、对一般和特殊关系的认识以及数学的综合能力。
解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高。所以近几年来高考题中不断出现，在2009年的全国各地高考试题中，抽象函数遍地开花。但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心。下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法。
一、抽象函数的定义域
例1已知函数f(x)的定义域为[1,3]，求出函数g(x)=f(x+a)+f(x-a)（a＞0）的定义域。
解析：由由a＞0
知只有当0＜a＜1时，不等式组才有解，具体为{x|1+a＜x≤3-a；否则不等式组的解集为空集，这说明当且仅当0＜a＜1时，g(x)才能是x的函数，且其定义域为（1+a,3-a]。
点评：1.已知f(x)的定义域为[a,b]，则f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出x即可得解；2.已知f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域即是g(x)在x[a,b]上的值域。
二、抽象函数的值域
解决抽象函数的值域问题——由定义域与对应法则决定。
例2若函数y=f(x+1)的值域为[-1，1]求y=(3x+2)的值域。
解析：因为函数y=f(3x+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(x+1)的定义域与对应法则完全相同，故函数y=f(3x+2)的值域也为[-1，1]。
三、抽象函数的奇偶性
四、抽象函数的对称性
例3已知函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称,则g(x)+g(-x)的值为（）
A、2B、0C、1D、不能确定
解析：由y=f(2x+1)求得其反函数为y=，y=f(2x+1)是奇函数，y=也是奇函数，。，，而函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称，g(x)+g(-x)=故选A。
五、抽象函数的周期性
例4、（2009全国卷Ⅰ理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则()
(A)是偶函数(B)是奇函数
(C)(D)是奇函数
解:与都是奇函数
函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。故选D
定理1.若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件f(x＋a)=f(x－b)，则y=f(x)是以T=a＋b为周期的周期函数。
定理2.若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件f(x＋a)=－f(x－b)，则y=f(x)是以T=2（a＋b）为周期的周期函数。
定理3.若函数y=f(x)的图像关于直线x=a与x=b（a≠b)对称，则y=f(x)是以T=2(b－a)为周期的周期函数。
定理4.若函数y=f(x)的图像关于点（a,0)与点(b,0),(a≠b)对称，则y=f(x)是以T=2(b－a)为周期的周期函数。超级秘书网
定理5.若函数y=f(x)的图像关于直线x=a与点(b,0),(a≠b)对称，则y=f(x)是以T=4(b－a)为周期的周期函数。
性质1：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)=f(b＋x)(a≠b,ab≠0),则函数f(x)有周期2(a－b)；
性质2：若函数f(x)满足f(a－x)=－f(a＋x)及f(b－x)=－f(b＋x)，(a≠b,ab≠0),则函数有周期2(a－b).
特别：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)（a≠0）且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a.
性质3：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)=－f(b＋x)(a≠b,ab≠0)，则函数有周期4(a－b).
特别：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)（a≠0）且f(x)是奇函数，则函数f(x)有周期4a。
从以上例题可以发现，抽象函数的考查范围很广，能力要求较高。但只要对函数的基本性质熟，掌握上述有关的结论和类型题相应的解法，则会得心应手。
关键词：函数；对应；映射；数形结合
1要把握函数的实质
17世纪初期，笛卡尔在引入变量概念之后，就有了函数的思想，把函数一词用作数学术语的是莱布尼兹，欧拉在1734年首次用f(x)作为函数符号。关于函数概念有“变量说”、“对应说”、“集合说”等。变量说的定义是：设x、y是两个变量，如果当变量x在实数的某一范围内变化时，变量y按一定规律随x的变化而变化。我们称x为自变量，变量y叫变量x的函数，记作y=f(x)。初中教材中的定义为：如果在某个变化过程中有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值与之对应，那么y就是x的函数，x叫自变量，x的取值范围叫函数的定义域，和x的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域。它的优点是自然、形像和直观、通俗地描述了变化，它致命的弊端就是对函数的实质——对应缺少充分地刻画，以致不能明确函数是x、y双方变化的总体，却把y定义成x的函数，这与函数是反映变量间的关系相悖，究竟函数是指f，还是f(x)，还是y=f(x)?使学生不易区别三者的关系。
迪里赫莱（P.G.Dirichlet）注意到了“对应关系”，于1837年提出：对于在某一区间上的每一确定的x值，y都有一个或多个确定的值与之对应，那么y叫x的一个函数。19世纪70年代集合论问世后，明确把集合到集合的单值对应称为映射，并把：“一切非空集合到数集的映射称为函数”，函数是映射概念的推广。对应说的优点有：①它抓住了函数的实质——对应，是一种对应法则。②它以集合为基础，更具普遍性。③它将抽像的知识以模型并赋予生活化，比如：某班每一位同学与身高（实数）的对应；某班同学在某次测试的成绩的对应；全校学生与某天早上吃的馒头数的对应等都是函数。函数由定义域、值域、对应法则共同刻划，它们相互独立，缺一不可。这样很明确的指出了函数的实质。
对于集合说是考虑到集合是数学中一个最原始的概念，而函数的定义里的“对应”却是一个外加的形式，，似乎不是集合语言，1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）采用了纯集合论形式的定义：如果集合fС{(x，y)|x∈A，y∈B}且满足条件，对于每一个x∈A，若(x，y1)∈f，(x，y2)∈f，则y1=y2，这时就称集合f为A到B的一个函数。这里f为直积A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}的一个特殊子集，而序偶（x，y）又是用集合定义的：（x，y）＝{{x}，{x，y}}.定义过于形式化，它舍弃了函数关系生动的直观，既看不出对应法则的形式，更没有解析式，不但不易为中学生理解，而且在推导中也不便使用，如此完全化的数学语言只能在计算机中应用。
2加强数形结合
数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽像概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。在7—12年级所研究的函数主要是幂函数、指数函数、对数函数和三角函数，对每一类函数都是利用其图像来研究其性质的，作图在教学中显得无比重要。我认为这一部分的教学要做到学生心中有形，函数图像就相当于佛教教徒心中各种各样的佛像，只要心中有形，函数性质就比较直观，处理问题时就会得心应手。函数观念和数形结合在数列及平面几何中也有广泛的应用。如函数y=log0.5|x2-x-12|单调区间，令t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|，t=0时，x=-3或x=4，知t函数的图像是变形后的抛物线，其对称轴为x=?与x轴的交点是x=-3或x=4并开口向上，其x∈(-3，4)的部分由x轴下方翻转到x轴上方，再考虑对数函数性质即可。又如：判定方程3x2+6x=1x的实数根的个数，该方程实根个数就是两个函数y=3x2+6x与y=1／x图像的交点个数，作出图像交点个数便一目了然。超级秘书网
3将映射概念下放
就前面三种函数概念而言，能提示函数实质的只有“对应说”，如果在初中阶段把“变量说”的定义替换成“对应说”的定义，可有以下优点：⑴体现数学知识的系统性，也显示出时代信息，为学生今后的学习作准备。⑵凸显数学内容的生活化和现实性，函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型。⑶变抽像内容形像化，替换后学生会感到函数概念不再那么抽像难懂，好像伸手会触摸到一样，身边到处都有函数。学生就会感到函数不再那么可怕，它无非是一种映射。只需将集合论的初步知识下放一些即可，学生完全能够接受，因为从小学第一学段就已接触到集合的表示方法，第二学段已接触到集合的运算，没有必要作过多担心。以前有人提出将概率知识下放的观点，当时不也有人得出反对意见吗？可现在不也下放到了小学吗？如果能下放到初中，就使得知识体系更完备，衔接更自然，学生易于接受，学生就不会提出“到底什么是函数？”这样的问题。
关键词：函数；对称性；思维能力
高中函数的学习其中包含：正反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、幂函数、对数函数等。从许多经验来看复合函数就是将所有基本函数放在一起的函数，这种复合函数是高考的必考内容，所以由此看来高中数学中函数的教学尤为重要。由于高中数学函数的对称性教学有一定的难度，并且学生学习起来也比较困难，这就要求高中数学教师要对函数的对称性进行充分的诠释。这种教学方式不仅仅能够帮助学生对函数的理解，还能够提高高中生的解题效率。高中函数的对称性教学的策略有：
一、引入理论知识时，应当注重其趣味性
一切活动的开展我们都不能忽视理论的作用，所以教师要在教学过程中对理论知识的讲解首先要清晰明确，不能用含糊不清的内容误导学生，而且严格要求学生对理论知识的掌握，教师也一定要将函数自身以及函数之间的对称性梳理清楚，重点讲解函数学习中的重难点知识，并注意将这些基本理论知识牢固扎在学生的脑海中。但是也不是要求教师机械地灌输这些理论知识，因为本身高中函数的学习就是一件比较困难，也是一件比较枯燥的事情，如果教师只是一味地将理论传授给学生，这种方式不一定会带来很好的学习效果，反而会降低学生的学习兴趣。所以在教学过程中教师要充分了解学生比较感兴趣的话题，引起学生的注意，并且将理论知识结合实际生活中的案例进行讲解。在引入知识时，教师应结合现实生活中的案例或者事物进行教学，这样就可以使得学生的学习兴趣有所提高。例如，在教学函数的单调性时，可以引入一首诗歌：
勤学似春起之苗，不见其增，日有所长；
辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏。
大家知道这是一首文学诗，主要告诉我们要坚持学习，我们现在要从一个数学的角度来分析这首诗歌，日有所长就是随着日子的变化不断增加；日有所亏就是随着日子的变化不断减少。我们就这个知识点来讲，有没有见过这样的函数，随着自变量的增加，函数值在不断增加，随着自变量的增加，函数值在不断减小呢？分析这个例子我们可以结合语文诗歌的内容将数学学科相结合起来，不仅能调动学生的学习积极性，同时也能从语文的角度提升学生对相关概念的理解。这样不仅能够加深学生对理论知识的记忆力，还能激发学生学习函数的兴趣。
二、区分函数对称性的重难点内容，重点突破难点知识
在教学过程教师要充分尊重学生的想法，经常和学生交流心得体会，使教师能够根据学生的学习习惯进行教学，但是高中函数学习中难度非常大，这就要求教师能够准确把握教学过程中函数对称性的重难点内容，并且将难点内容重点突破。教师可以设置一些专题讲解或者根据了解到学生学习信息制定一个比较全面的教学方案，针对部分学生的部分问题进行教学方法的分析，这样可以大大提高教师的教学水平和教学效果。
三、开发学生的思维能力
高中数学需要培养学生更加活跃的思维能力，所以在高中数学教学过程中，教师要注重培养学生的思维能力、自主学习的能力，能够经过教师的提点引导学生建立一套具有自己思维特点的体系。在学生自己的大脑里面呈现出对高中函数对称性知识的系统思维，能够帮助学生在学习过程中对其他类型的函数的理解，起到举一反三的效果。教师具体需要做的工作就是将学生按照相互之间的差异性进行分组，然后将函数图片分发给每个小组，让每个小组根据自己手中的图片分辨出哪些函数是具有对称性的，并且试着将函数式列出来，整个过程中能够培养学生独立自主的学习能力，引导学生独立思考。例如，假设函数y=f（x）是定义在函数A上的偶函数，并且f（1+x）等于f（1-x），当x为大于等于-1小于等于0时，f（x）=-x，求f（8，6）的值，此时教师可以先给学生一点点提示，根据已知条件我们可以得知，在定义A中是偶函数，所以，x=0是y=f（x）的对称轴，学生就可以根据教师所提示的进行解题。这样可以锻炼学生自主思考的能力。
综上所述，高中数学函数的对称性教学贯穿整个高中数学学习，由此可见，这种教学思路是非常重要的，所以高中数学教师要充分重视函数教学的对称性。函数对称性教学能够帮助学生在理解各种类型函数的时候降低难度，这样才能使学生提高解题能力。
（商丘师范学院数学与信息科学学院，河南商丘476000）
摘要：实变函数论是大学数学专业本科课程中的一门专业基础课.从上好第一节课，增强课堂趣味性，有计划地适当布置小论文题目等方面探讨如何改进实变函数课程的教学方法与实践，进而培养学生的学习积极性，提高教学质量.
关键词 ：课程改革；教学实践；实变函数
中图分类号：G642.0文献标识码：A文章编号：1673-260X（2015）02-0012-02
基金项目：商丘师范学院教学改革研究项目(2013jgxm33)
实变函数论是微积分的进一步发展，十九世纪初数学家逐渐发现分析基础本身还存在着许多问题，为解决这些问题逐步形成了一种新的理论实变函数论.它渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用.实变函数论是大学数学专业本科课程中的一门专业基础课，它具有高度的抽象性，较强的逻辑性，需要有一定的分析、代数等基础知识，一向被学生认为是最难学的课程之一.许多数学专业的本科生都对这门课不感兴趣，甚至望而生畏.近年来，针对这种现状，很多的学者就实变函数课程的教学与实践，进行了不同方面的探讨，同时在教学内容、教学方法等方面进行的不同程度的改革，见文献[1-5]，学生的学习兴趣和学习的效果有了一定的提高，但实际效果还远没有达到预定的期望.作者根据身在教学第一线的工作经历，主要从要上好第一节课，课堂增强趣味性，课下有计划地适当布置小论文题目等方面对如何改进实变函数课程的教学方法与实践进行了探讨.
1上好第一节课
实变函数论因其高度的抽象性一直深受学生的惧怕，并且学生普遍有这样一种困惑：实变函数论课程那么难，那么抽象，它对将来的工作和生活有什么作用？而许多教师迫于课时紧张，在教学中忽视第一节课整个课程的结构及发展，与其他课程的联系的介绍，直接或简单介绍后直接进入主要内容的学习.学习目的不明确以及学习上的畏难情绪直接影响学生学习实变函数的热情和效果.通过第一节课也就是绪论课的学习，可先让学生对本课程有个大致的了解.理解是以旧知识、旧经验为基础的，由于实变函数论课程是数学分析基础课的进一步升华和延伸，首先说明实变函数论是在分析基础本身出现问题的基础上产生的，如对某些很简单的函数像[0,1]区间上的dirichlet函数，在Riemann意义下不可积.为解决出现的这些问题，需要对Riemann积分进行改进.Riemann积分的思想主要是对函数的定义域进行分割，Lebesgue采用了对值域进行分割来建立积分理论的方法，由此产生了Lebesgue测度理论及积分理论-实变函数的核心内容.通过类比将实变函数中的基本概念和理论与数学分析中的相应部分尽可能紧密地联系起来，激发学生的学习兴趣.说到学习这门课有什么作用，从知识本身上说，对数学系大学本科阶段开设实变函数论这门课程是很有必要的，但这门课比较抽象，所以放在大学三年级来开设.不管是他们以后要在数学方面或是转到物理等其他方面继续深造，或者是去工作都是非常有用的.首先这是做理论研究和技术工作的基础；从学生自身上说，另外，通过学习这门课其实是对原来学习分析、代数、几何等知识的升华，帮助学生对以前的知识理解的更透彻，培养学生分析问题，思考问题，解决问题的能力，提高了学生的思维能力和分析能力，简单点说就是可以使人变聪明，这话学生爱听.
通过第一节课的学习，尽可能地拉近学生和实变函数的距离，使他们在心理上对实变函数有一些亲近感，让学生感受到实变函数的具体和魅力，重要性与实用性，激发学生学习该课程的热情和兴趣，从而努力学好它.
2增强趣味性
在上好第一节课的同时，学生已经对实变函数课程结构有了一定的了解，但在接触到具体内容之后，也会逐渐感到内容抽象，可能还会觉得枯乏难懂.因此在课堂中要适当的加入一些形象化语言，一些历史小故事等，增强学生的积极性，调节课堂氛围，增加学生的注意力.比如在讲解集合论这一章时，可以讲解一下康拓的生活遭遇，当时他所建立的集合理论，连续统假设不被数学界所认可，并本人受到了攻击.这对一个充满激情的学者来说是多么大的打击，以至康拓出现了精神问题，后来在精神病院死去.后来，他所创立的集合理论，还是被世人所接受并被肯定其价值.让学生了解一些实变函数相关知识的一些历史小故事，增强他们了解该课程的欲望，从而提高学习兴趣.
实变函数某些概念往往以“似是而非，似非而是”而难以理解，有时候可能会让学生莫不着头脑.如在集合的基数学习时，自然数很多很多，学生总感学自然数与实数一样多.除了数学的公式严格说明的同时，可以将其更形象的说，自然数相对于实数犹如一大麻袋的硬币投入整个大海.让学生在趣味中学习，提高学习的效果.
3适当布置小论文题目
现代教育教学理念的重点在于创新，既要传授知识，又要兼备发展智力，培养能力，提高素养.虽然在绪论课的学习中，通过对比实变函数论与数学分析的紧密联系，学生在直观上已有所了解，并通过增加小故事一定程度上提高了学生的积极性，但有些学生从心态上，认为这只是一门课，所以应付，缺少主动性；此外，有一些学生在修这门课的同时面临着将要考研的压力，而研究生入学考试中，该门课不作为考试内容，从而也致使对这门课程的重视不够.以往“实变函数”课程教学往往采用“满堂灌”式的板书教学，课堂是教师一个人的舞台，学生只是被动的接受.签于这些现状，从根本上提高学生的主动性，让其真正的参与进来，提高他们对这门课的重视，我们还采取有计划的布置小论文题目，来吸引他们的注意力.从而培养他们的兴趣，同时培养他们分析问题，多角度考虑问题，总结知识点的能力.这些，对他们以后作毕业论文设计都是很有帮助的.有计划的布置一些小论文题目，作一下知识总结或者是谈一下心得体会，给学生留有一定的思考空间，更能展示他们的考虑问题，总结知识的能力，展示他们的才华.一个人对一门课程学得好与坏不是简单的表现再考试卷面的成绩上，而最重要的应该是对该课程的整体理解上，通过该课程的学习无论是在知识上，还是在学习知识、传授知识的能力上都有所提高.
以上是我们从“实变函数”课程教学过程中，对其教学方法的一些改进与实践方式，从学生的反应来看，有一定的效果.我们也想通过这种教学实践，使学生养成一个良好的学习习惯.当然，好习惯的养成不是一朝一夕的，是长期坚持的结果.此外，在实际教学过程中仍可能会面临这样那样的问题，具体问题具体分析，根据实际情况灵活处理.
参考文献：
〔1〕倪仁兴.浅议实变函数与数学分析间的联系[J].绍兴文理学院学报，2001，21（3）：93-97.
〔2〕高文华，郭继东.实变函数教学中的几点体会[J].伊犁师范学院学报（自然科学版），2007，23（2）：58-61.
〔3〕刘晓波.“教学做合一”理论在实变函数课程教学中的实践[J].高等理科教育,2013,110(4):82-85.
〔4〕刘晓波.漫谈实变函数课程的教与学，湖北广播电视大学学报[J].2012,32（10）：118-119.
关键词：分类讨论思想；一次函数；应用
当前，数学思想和数学思想方法多种多样。一个好的数学思想能轻松的解决生活中的实际问题，一种好的数学思想方法能便捷的使我们学习理解一个数学思想。本篇论文主要论述分类讨论思想和一次函数及分类讨论思想在一次函数中的应用。目前国内外论述分类讨论思想在一次函数中的应用的论文不胜枚举，大多都是从函数的概念、性质、图像、实际应用和解题需求这五个方面分类。首先，分类讨论思想是基本数学思想方法之一。它是一种解决生活中的实际问题的逻辑方法。合理地使用分类讨论思想，我们可以使繁琐的问题简单化，使解决问题的思路更有条理。分类讨论思想在教学中的应用实际就是“化整为零，各个击破”的教学策略。这也是为什么教材每个章节需要分各个小节。同时，分类讨论思想应用到数学教学中，有助于提高学生的逻辑性、条理性、概括性，对于培养学生严谨的科学态度和逻辑的数学思维有重要意义。使学生掌握分类讨论的思想方法有助于提高学生解题能力和分析问题的效绩。其次，一次函数是重要的几类函数之一，合理的利用好一次函数可以便捷的解决生产和生活中的诸多问题。近年来的考纲都有应用书本知识解决实际问题的考点，诸如成本最小化、经济效益最大化、方案最优化等等。可见掌握函数思想的重要性，因此学生应该学好一次函数。最后，学习一次函数常用到分类讨论的思想方法。分类讨论思想应用到一次函数中使教学思路更有条理，教学方案更清晰明了。
一、浅谈分类讨论思想
（一）分类讨论思想的起源
大家都知道数学思想方法的两大源头分别是中国的《九章算术》和古希腊的《几何原本》。随着古今学者的研究发展，数学思想方法已经出现了很多种。分类讨论思想方法就是众多的基本数学思想方法之一。
分类现象自古就存在。远古时期，人们收集到的食物会分类保存。能长时间保存的和不能长时间保存的、可以播种的和不能播种的植物，能圈养和不能圈养的动物。一个狩猎团体根据体质差异也有分工，行动敏捷的成员负责吸引猎物的注意力，身体壮实的负责对猎物造成伤害，臂力大的负责投掷标枪等等。现在分类现象随处可见，各种各样的职业共同推动社会发展，大小不一的零件使机器正常运行。正是因为分类思想，人们有条理的生活着，避免了很多的差错与混乱现象。分类思想是古老文明的基本思想。
司马迁编撰的《史记》 [1]卷六十五《孙子吴起列传第五》曾记载“田忌赛马”的故事，齐王与田忌赛马，双方按马的速度将马分为三等，齐王同等次的马的速度均高于田忌。田忌将马出场次序换位以下等马对齐王的上等马，以上等马对齐王的中等马，以中等马对齐王的下等马赢得比赛。田忌这种根据对方的马出场次序而相应的对自己的马出场次序作出调整的思想方法就是分类讨论思想。正是因为这一思想，田忌巧妙地赢得了比赛的胜利。为古代人的智慧史添上了绚丽的一笔。通过这个事例我们知道分类讨论思想的重要性，分类讨论思想其实与我们的生活息息相关。
现在已经有很多的学者专家都有总结分类思想的含义，在《数学思想方法教学研究导论》的第253页指出：“分类是基本的逻辑方法之一，数学中的分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法。分类以比较为基础，通过比较识别出数学对象之间的异同点，然后根据相同点将数学对象归并为较大的类，根据差异点将数学对象划分为较小的类，从而将数学对象区分为具有一定从属关系的等级系统。”
随着数学的发展，分类讨论思想方法逐渐演化成数学思想方法的主要思想方法之一。同时，也正使得数学这门学科使得分类思想方法更加地深化与细化。如今，分类讨论思想方法已经是中高考试中的常考点。
（二）分类讨论思想的概念界定
我们先了解分类讨论思想的汉语释义。“分类”一词在辞海中的释义为根据事物的特点分别归类。“讨论”一词在辞海中的释义为就某一问题进行商量或辩论。“思想”一词在辞海中指思维活动的结果，属于理性认识。从分类讨论思想的汉语释义可以知道分类讨论思想先分别归类再逐一商量讨论。
分类思想和分类讨论有什么区别与联系呢？按从属关系划分，分类讨论是一个种概念，分类思想是一个属概念。分类思想并不专属于数学领域，它是人们早期认识世界面貌、改善生活条件的一种思维形态，即把复杂的事物依据其种类、性质或品级进行划分或归类。分类讨论是分类思想实际应用的一种具体形式，它要求把事物进行划分归类，把分类的若干个种类进行逐一的研究讨论，最后把分类的若干讨论结果归纳总结。
在数学领域各学者对于分类讨论思想方法的概念界定几乎大同小异，对于分类讨论思想方法的概念几乎不存在争议。顾泠沅教授所著的《数学思想方法》有提到分类讨论这一思想方法。在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现化整为零、集零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，有关分类讨论思想的数学问题是比较繁琐复杂的，通常安排在解答题板块，所占分值比较高。所以在高考试题中占有重要的位置。
（三）分类讨论思想的分类原则与方法
分类讨论思想的分类原则：（1）所要分类的对象必须是确定的（2）分类出的各级内容必须是完整的，不能犯遗漏某一级这种错误（3）应该按同一标准分类（4）各个集域应当是互斥的，不出现重复的集域（5）分类必须逐级进行，不能越级分类。分类讨论思想的分类方法：明确分类讨论的对象，确定对象的所有内容，明_分类的标准，将对象正确进行分类；逐级进行讨论，获取阶段性结果，归纳小结，综合结论。
三、分类讨论思想在一次函数中的应用
分类讨论思想在一次函数中的应用主要体现在一次函数的概念、性质、图像与实际应用这几个方面。
（一）分类讨论思想在一次函数概念方面的应用
如何来辨别一个函数关系是不是一次函数？前面已经给出了一次函数的概念。一般地。形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数（linear function）.当y=kx+b中的k是变量或者x的指数是变量时，该变量取不同的值会有不同的结果，因此就需要是用分类讨论的思想方法逐一讨论。
那么我们来看这道例题：
例4 已知函数y=（m-5）x2m-1+3x-1，当m为何值时，该函数是一次函数？
分析：根据函数概念，本题应该分为三种情况讨论：当m-5=0时，函数是一次函数；当2m-1=1时，函数是一次函数；当2m-1=0时，函数是一次函数。综上所述，m=5或1或 。
（二）分类讨论思想在一次函数性质方面的应用
我们已经知道一次函数具有单调增减性，一次函数的增减性在生活中经常用到。一次函数要么递增要么递减，因此又是也需要用到分类讨论思想。
例5 一次函数y=kx+b，当2≤ x ≤ 4时，10≤ y ≤ 14。求的值。
分析：此题中一次函数的单调性尚不明确，因此需要分为两种情况讨论：
当函数单调递增时，即当x=5时，y=10，当x=4时，y=14，因此k=2， b=6
故=3，当函数是单调递减时，即当x=2时，y=14，当x=4时，y=10，因此k=-2， b=18故=-9。
（三）分类讨论在一次函数图像位置方面的应用
如果一次函数y=kx+b中的k或b不明确那么一次函数图像在平面直角坐标系中的位置也将不明确，因此很多时候需要用到分类讨论思想来解决相关问题。
例6 已知正比例函数y=x和一次函数y=kx+2的函数图像与x轴围成了一个面积为1的三角形，求一次函数的解析式。
分析：此题中一次函数的斜率并不明确，因此函数图像的位置需要分为两类。因为已经知道两个函数图像与x轴围成的三角形面积是1，且一次函数经过定点（0，2）根据斜率将一次函数分为递增和递减两类：当一次函数单调递增时，一次函数经过x轴上的点A（-1，0），一次函数解析式为y=2x+2；当一次函数单调递减时，一次函数经过x轴上的点E（2，0），一次函数的解析式为y=-x+2。所以总结两类讨论，一次函数的解析式为y=2x+2或y=1x+2。作图如图3.1和图3.2。
（四）分类讨论在一次函数实际问题方面的应用
一次函数应用到实际问题中已经是常考点，这使数学更贴近生活，培养学生灵活运用知识的能力。而在一些典型题型中常需要用到分类讨论思想。
例7 小明准备换电话卡，现在他已经了解了两种电话卡的套餐。A卡套餐为每月通话不超过100分钟，则按每分钟0.2元收费，若每月通话大于100分钟则超出时长按每分钟0.16元收费；B卡套餐为每月通话不超过200分钟按每分钟0.2元收费，若每月通话超过200分钟超出时长则按每分钟0.12元收费。如果小明每月通话 分钟，请问他该如何选择套餐最划算？
分析：此题尚不明确小明每月通话时长，因此需要分三种情况讨论：
当0≤ x ≤ 100时，显然两种卡消费一样。
当100≤ x ≤ 200时，A卡有优惠，B卡无优惠，因此选择A卡。
当x>200时，设A、B两卡消费分别为y1、y2。A卡消费为y1=0.16x+20，B卡消费为y2=0.12x+40，当y1=y2时，x=500因此又需要分三种情况讨论：当x=500时，A、B两卡消费一样，当200500时，y1>y2选B卡更划算。
分类讨论思想这是数学基本思想方法之一。学生熟练掌握了这一思想方法，将更有逻辑有条理的分析处理问题。一次函数是最基本的函数，它对于解决实际生活生产需要有重要意义。教师在教学一次函数时应当科学的选取适当的教W方法，务必是学生理解掌握一次函数，并将其迁移到实际问题中去。
参考文献：
[1]司马迁，史记，北京联合出版社，2016.
[2]王鸿钧，孙宏安，数学思想方法引论，人民教育出版社，1992.
[2]义务教育课程标准教师学习指导，2011.
[3]数学八年级下册，人民教育出版社，2013.
[4]顾泠沅，数学思想方法，中央广播电视大学出版社，2004.
[5]潘兴伟，初中数学教与学，分类思想在一次函数中的应用，2015.
[6]姬梁飞，科教文汇，论分类讨论思想方法，2017.
关键词： 《复变函数论》 教材内容 教学方法 教学质量
《复变函数论》是高等师范院校数学系的一门专业基础课，无论从知识结构的承前启后还是从能力的培养和思维品质的提高等诸方面看，《复变函数论》的教学对师范生的培养都起着十分重要的作用。笔者从自身的教学实践出发，谈谈自己在教学中的一些做法。
一、教材内容的处理
《复变函数论》这门课现行使用的教材有许多教学内容与中学教学内容重复（例如：复数的概念、复数的表示方法、复数的四则运算等），对于这些内容可安排学生自学，补讲一些在中学数学中实际应用的内容，例如利用复数理论证明几何问题，使学生牢固地掌握作为中学数学教师所必备的关于复变函数的基本理论和基本技能，毕业后对所学知识能得心应手地运用。教材中还有些内容与数学分析相近（例如：极限、连续、导数和级数等），教师应通过类比数学分析讲复数理论、复变函数的微积分理论、删去多值函数和支点等一些复杂问题，增加绪论内容，结合数学史阐述清楚复变函数论的形成过程、研究的对象、基本思想方法及其在近现代科学发展中的地位和作用，介绍这门学科现在科研的前沿，使学生对这门课的学习有较好的认识和学好的思想准备。
二、灵活运用教学方法
（一）利用类比方法教学。
复变函数就是自变量为复数的函数，复变函数论在众多的数学分支中属于函数论，它所研究的主要对象是在某种意义下可导的复变函数――解析函数。我们在《复变函数》教材中讨论的是单复变函数的理论，因此《复变函数》是《数学分析》中一元实变函数的推广又称为复分析。《复变函数》作为《数学分析》在复数域的延拓，在知识结构、理论体系、研究方法等方面，二者都紧密相关。因此，在教学过程中我们要注重利用类比方法教学。
所谓类比法，是指通过对两个对象类似之处的比较，由以往获得的知识引出新的猜测的方法。人们通常所说的“举一反三”、“由此及彼”就是类比方法。类比方法是一种创造性的思维方法，在教学中，类比的过程是培养学生创造性思维的过程。
复变函数论的许多概念和定理（例如:函数及其极限、连续、导数、积分、级数等概念），与数学分析中的概念和定理相类似。因此，在教学中我们应首先抓住这些概念或定理进行新、旧之间的比较。
1.极限概念的类比
实分析和复分析都是用极限的方法去研究函数的分析性质。极限概念是实分析和复分析中的一个十分重要的基本概念，掌握好极限的概念是学好复变函数论的基础。学生应正确理解并熟练掌握极限概念的有关内容，利用实分析与复分析的相似及相异点，紧紧抓住实一元函数和实二元函数的极限概念进行对比。教师在对比中讲述，学生在对比中思考，能获得事半功倍的效果。
复变函数极限的概念，形式上和数学分析中一元函数极限的概念相同，即limf（x）=A或（xx，x∈D）;limf
（二）激发学生的学习兴趣，充分调动学生的学习积极性。
把一些抽象的概念形象化，举出实例来刺激学生的学习兴趣。例如：单连域、多连域的概念：一个区域B，如果在其中任作一条简单闭曲线，而曲线的内部总属于B，就称为单连域。一个区域如果不是单连域就称为多连域。为了帮助学生理解这两个抽象的概念，可以举一个这样的例子：单连域好比一张完整无缺的报纸，而多连域则好比是这张报纸被剪了若干个洞。这样，学生会很轻松地理解这两个概念。
在课堂教学中教师可结合所授内容特点介绍一些数学史。数学理论的演变过程是一个让人很感兴趣的历史，从中可以再现数学大师们的思考问题的方式，看到他们是如何探索真理的，从而启发学生怎样去思考问题。
（三）培养学生自学的能力。
《复变函数》作为《数学分析》在复数域的延拓，在知识结构、理论体系、研究方法等方面，二者都紧密相关。学生经过《数学分析》的完整学习，方可具备相当扎实的函数论知识，并具备一定的自学能力。因此，依据自主探索学习的基本理论，结合目前的教学现状，在复变函数教学中教师可适合安排一定的教学内容让学生进行自主探索学习，以便收到更好的教学效果，同时也便于不断提高学生自主探究、自我建构知识的能力。例如，“复数”这节的内容大部分学生在中学阶段都学过，“复平面上的点集”的内容与数学分析中平面点集的内容几乎是一样的，再讲这些内容，既浪费时间，学生听起来也不会感兴趣。如果让学生自学，然后教师提出一些问题让学生去讨论，去思考，他们会更集中精力去钻研，从而收到更好的学习效果，并不断地提高自学能力。
在课堂上我们应坚持“教师是主导，学生是主体”的教学原则，让学生在教师帮助下逐渐消化、理解知识，引导学生对所学知识进行概括与总结，培养学生驾驭知识的能力，让学生将知识不断地经过自己头脑的分析、综合变成自己可以运用自如的知识体系。教师可以利用章节的小结、习题课等形式训练学生对同一问题从不同的路径和方向去思考，多角度多方向去观察，尽量探索出多种解法，让学生变“被动学习”为“主动学习”，从而掌握学习的主动性，并逐步培养学生一定的自学能力和提出问题、分析问题、解决问题的综合能力。
三、努力提高教学质量
复变函数的教学过程是一个不断摸索的开发过程，教师需要具备扎实的专业知识背景，在此基础上教学手段的多样化，教学内容的兴趣化，以及教学器材的现代化都是提高教学效果的手段。只有充分调动教师的聪明才智、调动广大学生的积极性和创造性，才能够取得更好的教学效果。
教学中教师应注意把教书和育人融为一体。教师首先要以身作则，为人师表，在教学中认真处理好每一个问题，认真回答学生提出的每一个问题，在把握好接受性的原则下，对疑难问题不回避，以严谨治学的精神影响学生，培养学生勤奋读书、刻苦钻研、理论联系实际、求实严谨的学风。其次对学生要严格要求，对于学生在学习中暴露出的一些不正确思想和做法，要及时指出，正确引导，把学生的注意力和精力引导到学习功课上来。只要能充分调动学生的学习积极性，任何学习上的困难都可以克服，复变函数的教学质量就可以得到提高。
参考文献：
［1］钟玉泉.复变函数.北京.高等教育出版社.1984.3.
［2］姜淑珍.关于复变函数论教学方法的思考［J］.长春师范学院学报，2004，（2）.
［3］姜涛.改革高师数学教育培养创新人才［J］.数学教育学报，2000，（1）.
关键词：初中物理；函数；教学；策略
中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2016）29-0113-02
DOI：10.16657/ki.issn1673-9132.2016.29.069
一、初中数学函数教学的现状
自实施新课程改革以来，初中数学教学模式逐步改变，教学方式渐呈多样化趋势，数学函数教学也能充分利用现代先进的科学技术进行课程教学活动。历经多年的努力，在初中数学函数教学过程中，很多教师已经充分掌握了计算机操作、计算机应用功能，已经能较好地运用多媒体技术辅助教学，已经非常注重教学方式、教学策略，使很多学生提高了对函数问题的认识和理解，提升了他们的思维能力、分析能力及实际应用能力。为今后更深层次的学习数学知识，接受更高的数学教育打好了基础，铺平了道路。
二、初中数学函数教学的不足
很多初中数学教师通过不懈的努力，使学生很好地认知初等函数数学知识，掌握了相关的理论。但教学过程中依然有少数教师无法很好地运用教学谋略进行教学活动，主要表现如下。
（一）没有充分理解函数知识在初中数学中的重要性
虽然大多初中数学教师都能认识到函数知识是非常重要的，也知道函数知识是连接高中数学知识的桥梁，起着承上启下的桥梁作用，都能在教学过程中好好设计教学方案，讲解函数的定义，都能教授初中学生从数学知识中认识什么是定量，什么是变量，什么是函数的三要素等。少数初中数学教师由于没有充分理解函数知识在初中数学中的重要性，在教学过程中没有好好设计教学方案，没有充分准备和认真讲解初中数学中函数的定义和概念，没能有意识地运用函数将现实生活中的一些问题转化为函数问题，并运用函数科学知识去合理解决现实生活中的一些问题。
（二）没有充分利用现代技术进行数形结合教学
很多初中数学教师知道图像法在函数教学中是三个表达函数关系的方法之一，是最为直观的表达方法，而数与形相结合的教学思想是函数教学最基本的思想，也是为了让学生去认知函数，通过数和形的相互变换将复杂抽象的函数问题变得更易接受、更易理解的重要途径。很多教师都是按照此类方法去教授函数课程，但有些教师在采用此法教学时，仍然采用“灌输法”，并不能按照新课改的要求，让学生自己开动脑筋进行自主式学习，也没有在课堂上留出一些时间，让学生自己去绘制函数图像，进行数形结合的学习活动。他们依旧认为让学生自己动手绘制函数图像是浪费教学时间。这种陈旧的教学模式不利于学生增强函数学习的印象与记忆，不利于学生通过函数图像数形结合思想培养与提高抽象思维能力，不利于学生从自己绘制函数图像中更加形象、直接地理解与掌握函数性质，不利于学生快速理解与掌握函数值范围、自变量取值范围，以及变化规律等理论知识。
三、初中数学函数教学的策略
（一）应充分认识函数知识在初中数学中的重要性
初中数学教师应充分认识到函数是数学知识中相当重要的部分，应充分认识函数知识在初中数学中的地位和作用。在这个变化较快的新时代，初中数学教师应把握函数知识的教学重点，应根据新时代的民众生活、学生环境的变化，改变教学思想，不再沿用陈旧的教学实例，而应更新教学设计，更新教学方案，有意识地运用函数的定义、函数的概念，运用函数的思想、理论，将更新鲜、更贴近生活的、更与时俱进的一些问题、一些教学实例转化为函数问题，并运用函数科学知识去合理解决这些问题、去分析研究这些教学实例，去激发学生对函数知识的兴趣，使他们愿意去思考生活中的这些数学问题，愿意去找寻解决这些数学问题的途径，进而提高他们的学习能力。
（二）应充分利用现代技术进行数形结合教学
初中数学教师都应认真钻研数形结合的教学思想和教学方法，改变传统的灌输式教学模式和方法，在教授函数知识时，应主动预留教学课时，分利用现代技术，让学生自己动手绘制函数图像，进行自主式学习，让他们通过数和形的相互变换去认知函数，进而更易接受与理解函数性质，更易接受与理解函数值范围、自变量取值范围及变化规律等，更易理解复杂抽象的函数问题。
总之，要有效开展初中数学函数教学，提高初中学生函数学习能力，教师必须改变教学观念，转变教学模式，结合教学实例，同时应转换教学角色，把课堂交给学生，并充分利用现代科学多媒体技术加强演示教学，尽可能安排学生自己动手操作，使有限的教学课时达到最佳教学效果。
参考文献：
