1．掌握对数函数的概念，图象和性质，且在掌握性质的基础上能进行初步的应用．
(1)能在指数函数及反函数的概念的基础上理解对数函数的定义，了解对底数的要求，及对定义域的要求，能利用互为反函数的两个函数图象间的关系正确描绘对数函数的图象．
(2)能把握指数函数与对数函数的实质去研究认识对数函数的性质，初步学会用对数函数的性质解决简单的问题．
2．通过对数函数概念的学习，树立相互联系相互转化的观点，通过对数函数图象和性质的学习，渗透数形结合，分类讨论等思想，注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力．
3．通过指数函数与对数函数在图象与性质上的对比，对学生进行对称美，简洁美等审美教育，调动学生学习数学的积极性．
教学建议
教材分析
(1)对数函数又是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生已经学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的基础上引入的．故是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解．对数函数的概念，图象与性质的学习使学生的知识体系更加完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸．它是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程，对数不等式的基础．
(2)本节的教学重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象性质．难点是利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质．由于对数函数的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，而且又是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上，故应成为教学的重点．
(3)本节课的主线是对数函数是指数函数的反函数，所有的问题都应围绕着这条主线展开．而通过互为反函数的两个函数的关系由已知函数研究未知函数的性质，这种方法是第一次使用，学生不适应，把握不住关键，所以应是本节课的难点．
教法建议
(1)对数函数在引入时，就应从学生熟悉的指数问题出发，通过对指数函数的认识逐步转化为对对数函数的认识，而且画对数函数图象时，既要考虑到对底数的分类讨论而且对每一类问题也可以多选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找出共性，归纳性质．
(2)在本节课中结合对数函数教学的特点，一定要让学生动手做，动脑想，大胆猜，要以学生的研究为主，教师只是不断地反函数这条主线引导学生思考的方向．这样既增强了学生的参与意识又教给他们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思有所得，练有所获，，从而提高学习兴趣．
教学设计示例
对数函数
教学目标
1.在指数函数及反函数概念的基础上，使学生掌握对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图像，掌握对数函数的性质，并初步应用性质解决简单问题．
2.通过对数函数的学习，树立相互联系，相互转化的观点，渗透数形结合，分类讨论的思想．
3.通过对数函数有关性质的研究，培养学生观察，分析，归纳的思维能力，调动学生学习的积极性．
教学重点，难点
重点是理解对数函数的定义，掌握图像和性质．
难点是由对数函数与指数函数互为反函数的关系，利用指数函数图像和性质得到对数函数的图像和性质．
教学方法
启发研讨式
教学用具
投影仪
教学过程
一.引入新课
今天我们一起再来研究一种常见函数．前面的几种函数都是以形式定义的方式给出的，今天我们将从反函数的角度介绍新的函数．
反函数的实质是研究两个函数的关系，所以自然我们应从大家熟悉的函数出发，再研究其反函数．这个熟悉的函数就是指数函数．
提问：什么是指数函数?指数函数存在反函数吗?
由学生说出是指数函数，它是存在反函数的．并由一个学生口答求反函数的过程：
由得．又的值域为，
所求反函数为．
那么我们今天就是研究指数函数的反函数-----对数函数．
2．8对数函数(板书)
一.对数函数的概念
1.定义：函数的反函数叫做对数函数．
由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发．如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗?最初步的认识是什么?
教师可提示学生从反函数的三定与三反去认识，从而找出对数函数的定义域为，对数函数的值域为，且底数就是指数函数中的，故有着相同的限制条件．
在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质．
二．对数函数的图像与性质(板书)
1.作图方法
提问学生打算用什么方法来画函数图像?学生应能想到利用互为反函数的两个函数图像之间的关系，利用图像变换法画图．同时教师也应指出用列表描点法也是可以的，让学生从中选出一种，最终确定用图像变换法画图．
由于指数函数的图像按和分成两种不同的类型，故对数函数的图像也应以1为分界线分成两种情况和，并分别以和为例画图．
具体操作时，要求学生做到：
(1)指数函数和的图像要尽量准确(关键点的位置，图像的变化趋势等)．
(2)画出直线．
(3)的图像在翻折时先将特殊点对称点找到，变化趋势由靠近轴对称为逐渐靠近轴，而的图像在翻折时可提示学生分两段翻折，在左侧的先翻，然后再翻在右侧的部分．
学生在笔记本完成具体操作，教师在学生完成后将关键步骤在黑板上演示一遍，画出
和的图像．(此时同底的指数函数和对数函数画在同一坐标系内)如图：
2.草图．
教师画完图后再利用投影仪将和的图像画在同一坐标系内，如图：
然后提出让学生根据图像说出对数函数的性质(要求从几何与代数两个角度说明)
3.性质
(1)定义域：
(2)值域：
由以上两条可说明图像位于轴的右侧．
(3)截距：令得，即在轴上的截距为1，与轴无交点即以轴为渐近线．
(4)奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数，即它不关于原点对称，也不关于轴对称．
(5)单调性：与有关．当时，在上是增函数．即图像是上升的
当时，在上是减函数，即图像是下降的．
之后可以追问学生有没有最大值和最小值，当得到否定答案时，可以再问能否看待何时函数值为正?学生看着图可以答出应有两种情况：
当时，有；当时，有．
学生回答后教师可指导学生巧记这个结论的方法：当底数与真数在1的同侧时函数值为正，当底数与真数在1的两侧时，函数值为负，并把它当作第(6)条性质板书记下来．
最后教师在总结时，强调记住性质的关键在于要脑中有图．且应将其性质与指数函数的性质对比记忆．(特别强调它们单调性的一致性)
对图像和性质有了一定的了解后，一起来看看它们的应用．
三．简单应用(板书)
1.研究相关函数的性质
例1.求下列函数的定义域：
(1)(2)(3)
先由学生依次列出相应的不等式，其别要注意对数中真数和底数的条件限制．
2.利用单调性比较大小(板书)
例2.比较下列各组数的大小
(1)与；(2)与；
(3)与；(4)与．
让学生先说出各组数的特征即它们的底数相同，故可以构造对数函数利用单调性来比大小．最后让学生以其中一组为例写出详细的比较过程．
三．巩固练习
练习：若，求的取值范围．
四．小结
五．作业略
板书设计
2．8对数函数
一.概念
1．定义2．认识
二．图像与性质
1．作图方法
2．草图
图1图2
3．性质
(1)定义域(2)值域(3)截距(4)奇偶性(5)单调性
三．应用
1．相关函数的研究
例1例2
练习
探究活动
(1)已知是函数的反函数，且都有意义．
①求；
②试比较与4的大小，并说明理由．
(2)设常数则当满足什么关系时，的解集为
答案：
(1)①；
设函数f （x）=■（a∈R）
（1）a=4时，解 f （x）>x+1；
（2）求函数在[0，+∞]上的最小值；
（3）求函数g （x）=f （x-1）-1nx的单调递增区间.
给学生10分钟的自我思考时间和尝试解题时间，然后提问：
师：给出a的值之后，第一问是一个什么问题？（挑选一名学困生A）
生A：变成了一个不等式。
师：什么不等式？
生A：分式不等式，■>1
师：你的答案是多少？
生A：x>1.
（班级其他学生立即反映答案不正确）
师：请问，你是怎么解这个分式不等式的？解不等式的时候需要注意什么问题？
生A：（想了一下）应该注意符号，不能直接乘过去，分类讨论。
师：好，请坐。（问全班）分式不等式当一端常数不是0的时候我们怎么解？
生A：移项，通分。
点评：在提出第一问的时候，如果直接对答案，将使得一部分学困生的问题得不到解决。高三复习课既要保证课堂效率，又要使各个层次的学生都有所提高，就要在每一个环节的设计上下工夫，简单题目做错的学生一定要找到原因，该题目有些学生解对答案了，但是通过讨论分母的符号来做的，显然速度慢了些，同时也说明分式不等式的掌握没到位。简单题，主讲思路，防止学生的想当然解题和绕弯路的解题得不到解决。
第二问，我找了一名中等程度的学生B来讲解解题思路。
生B：当x=■-1时，最小值是2■-1.
师：你是怎么做的？
生B：因为有分式，我就凑了分母x+1出来，变成了基本不等式，就可以求最值了。
师：基本不等式应用的条件是什么？
生B：一正二定三相等（突然想明白），错了，要就a的情况讨论。
师：自己做的时候怎么不提问呢？知道怎么做，也知道做法上需要注意的条件，就要注意自我监控好每一步（2分钟后）请学生B继续回答。
a>0时，x=■-1时，最小值是2■-1.
生B：当a≤0时是单增函数，在x=0处取最小值a.
师：在解函数的问题时，我们要特别注意什么？
生B：定义域，哦，x>0。
师：为什么不去看原题的条件呢？函数解题是在定义域这个条件下的解决问题，解决函数首先要关注定义域，在读原题的时候，关键的地方要划下记号，防止漏条件或者不关注。
（2分钟后）该生将正确答案报出，最后我又问了她，解决带参数的函数最值问题要注意哪些地方？
生B：首先看定义域，其次看是什么函数，是否需要就参数的范围讨论。
师：第二问还可以怎么解？
生C：求导。
师：为什么要求导？
生C：我想知道原函数的单调性，就能求最值了。
师：换言之，求函数的值域，首先要判断该函数在定义域内的单调性，求导之后呢？
生C：因为导函数的符号决定原函数的单调性，所以我开始判断导函数的符号，一开始没有对a的情况讨论，后来改过来了。
师：总结下，在求导判断原函数单调性的时候，实质上我们要注意导函数变成了一个怎样的新函数，判断这个新函数的符号，一定是在给定的定义域内，如果带参数请提问自己，是否需要分类讨论。
点评：第三问的基本思想方法与第二问是相同的，可以用来检查学生的听课状况和教师的教学效果，课堂完成，并且利用幻灯片展示学生的解题过程，并在书写上进行点评。下面是一名学生的最终整理笔记。
【关键词】幂函数 课案设计
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）10-0077-02
根据我校的课改要求，本人在校本教材与校本练习开发中，就课案设计构思上作了如下安排，课堂效益与辅导效果良好。
一、化归铺垫，认知数与形的结合
1.将非零有理指数变形为分数的形式： p、q既约，分母q为正整数，分子p为非零整数；当有理指数为整数时，分母q=1。
2.在第一象限，作三条辅助线x=1【过点（1，1）的x轴的垂线】；y=1【过点（1，1）的y轴的垂线】；y=x【过点（1，1）的第一象限的角分线】。
并将y=1变形为y=x0【补充规定当x=0时，y=1】；y=x变形为y=x1 。
3.分别作二次函数y=x2，反比例函数y=以及函数y=x的图象并观察：
①在第一象限中，观察抛物线、双曲线及y=x图像与三条辅助直线的位置关系：
y=x2在直线x=1的右侧位于直线y=x1之上，而有理指数>1；
y=x在直线x=1的右侧位于直线y=x0与y=x1之间，而有理指数0
y=x-1在直线x=1的右侧位于直线y=x0之下，而有理指数
②判断三个函数的奇偶性，观察有理指数转化为既约分数后分子、分母的奇偶性：
y=x2是偶函数，y=x2可变形为y=x，=，分母q为正奇数，分子p为正偶数；y=x-1为奇函数，y=x-1可变形为y=x，=，分母q为正奇数，分子p为负奇数；
y=x为非奇非偶函数，=，分母q为正偶数，分子p为（正）奇数。
4.①分析y=x，y=x分别与直线x=，x=4交点与三条辅助直线的相对位置关系；
②分析y=x，y=x分别与直线x=，x=8交点与三条辅助直线的相对位置关系；
③分析y=x，y=x分别与直线x=，x=4交点与三条辅助直线的相对位置关系。
5.讨论y=x，y=x，y=x，y=x在y轴左侧的图象情形，分析指数分数的符号，分母q、分子p的奇偶性。
二、分类讨论，合情归纳推理
第一类情形：分数为大于1的正数（>1）
在直线x=1的右侧，y=x位于直线y=x1的上方，第一象限的图象示意图为：
（一） 分母q为正偶数，分子p恒为正奇数（举例如：y=x）
1.自然定义域为[0，+∞）（偶次根式 中，xp≥0，x≥0）
2.y=x为非奇非偶函数，图象如图1-1
3.值域为[0，+∞）（图象在y轴上的正射影为y正半轴，包括原点）
4.图象恒过点（1，1）以及原点。
（二）分母q为正奇数，分子p为正奇数（举例如：y=x3）
1.自然定义域为R（奇次根式中xp∈R，x∈R）
2.y=x为奇函数，推知图象如图1-2
3.值域为R（图象在y轴上的正射影为y轴）
4.图象恒过点（1，1）以及原点。
第二类情形：分数为小于1的正数（0
在直线x=1的右侧，y=x位于直线y=x0与y=x1之间，第一象限的图象示意图为：
（一） 分母q为正偶数，分子p恒为正奇数（举例如：y=x）
1.自然定义域为[0，+∞）（偶次根式中，xp≥0，x≥0）
2.y=x为非奇非偶函数，图象如图2-1
3.值域为[0，+∞]（图象在y轴上的正射影为y正半轴，包括原点）
4.图象恒过点（1，1）以及原点。
（二）分母q为正奇数，分子p为正奇数（举例如：y=x）
1.自然定义域为R（奇次根式中，xp∈R，x∈R）
2.y=x为奇函数，推知图象如图2-2
3.值域为R （图象在y轴上的正射影为y轴）
4.图象恒过点（1，1）以及原点。
第三类情形：分数为负数（
在直线x=1的右侧，y=x位于直线y=x0的下方，第一象限的图象示意图为：
（一） 分母q为正偶数，分子p恒为负奇数（举例如：y=x）
1.自然定义域为（0，+∞）（代数式中，x-p>0，x>0）
2.y=x为非奇非偶函数，推知图象如图3-1
3.值域为（0，+∞）（图象在y轴上的正射影为y正半轴，包括原点）
4.图象恒过点（1，1），不过原点。
（二） 分母q为正奇数，分子p恒为负奇数（举例如：y=x-1）
1.自然定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）（代数式中，x-p≠0，x≠0）
2.y=x为奇函数，推知图象如图3-2
职称：讲师
摘 要：在深入学习领会新课程理念的基础上,本文通过三个教学案例论述了在进行指数函数教学设计时,如何改进新课引入、多媒体使用和指数函数性质发现过程以及相应的教学效果。
关键词：指数函数；教学设计；教学案例；多媒体；有效教学
指数函数是数学教学的重点内容之一,从教学要求看,一是理解指数函数的定义；二是掌握指数函数的图像与性质。下面是笔者在公开教学中对指数函数教学设计的三处改进。
案例一:新课引入的改进
(一)原始设计
1.复习旧知:
函数y=x的定义域是
2.引入新课:师问:函数y=2x与函数y=x2从形式上看有什么不同?生答:从形式上看,前者指数是自变量,后者底数是自变量。(引入课题)
(二)改进设计
1.创设情境:有人说,将一张白纸对折50次以后,其厚度超过地球到月球的距离,你认为可能吗?设白纸每张厚度为0.01mm,已知地球到月球的距离约为380000千米。
对折的层数y与对折次数x的函数关系式是什么?设纸的原面积为1,对折后纸的面积z与对折次数x又有什么关系?(y=2x,z= (1/2)x)
2.提出问题:师问:能发现y=2x,z= (1/2)x的共同点吗?
学生思考片刻,教师提示:从形式上,有什么共同点?并用红粉笔标出指数x。
生答:指数x是自变量,底数是大于0且不等于1的常数。(引入课题)
(三)教学反思
凯洛夫的“五环节”教学理论:“复习旧课―导入新课―讲授新课―巩固―作业” 目前还深深地影响着我们的教学。但如果总是这样一成不变,就显得呆板与程式化。在原始设计中,先复习与新授知识相关的内容,然后再从实际引入新课,与教材编排相一致,这样就显得枯燥无味,很难调动学生的学习兴趣。为此,从学生感兴趣的一个生活实例出发,引起学生注意与争议,教师再创设实际问题情境,增强了学生的求知欲望,强化了学生内在的学习需求,巧妙地导入了新课。
案例二:多媒体使用的改进
(一)原始设计
1.电脑作图:教师用多媒体演示y=2x、y= (1/2)x的作图过程。
2.观察猜想:教师引导学生观察y=2x、y= (1/2)x的图像,猜想y=3x的图像形状。
3.电脑验证:教师用几何画板做出y=3x的图像,验证猜想。
4.归纳猜想:由特殊到一般,给出指数函数的图像分为两类,并用多媒体演示它们的图像特征和性质。
(二)改进设计
1.学生作图:在教师的指导下学生分组后用几何画板作y=2x、y=(1/2)x的图像。然后,让学生在电脑上作y=3x,y=5x y=10x,y=0.2x,y=0.7x等函数的图像,并对图像形状的变化加以观察与讨论。
2.猜想形状:让学生猜想函数y=8x,y=0.3x的图像形状,师生讨论,并列出有关观察结论。
3.分组探究1:一般地指数函数的图像大致有几类(几种走势)?
4.分组探究2:分别满足什么条件的指数函数图像大致是图1、图2
5.电脑验证:用几何画板作y=ax (a>0且a≠1)图像,任意改变a的值,展示底数变化对图像的影响。
(三)教学反思
原始设计,多媒体演示放在猜想之后,仅仅起了一个验证的作用,体现不了计算机辅助教学的目的,有点画蛇添足,成了一种花架子。
改进之后,按照“动手操作―创设情境―观察猜想―验证证明”的思路设计,首先电脑作图,为学生观察、交流创设情境；然后,引导学生深入细致地观察图像,学生在相互争论、分享研究成果,猜想出图像分两种情形；最后,再用多媒体验证猜想。
案例三:指数函数的性质发现过程的改进
(一)原始设计
1.师生作图:教师作y=2x的图像,以作示范。然后学生模仿作y=(1/2)x 的图像,以巩固作图方法。
2.电脑演示:教师用多媒体演示y=2x、y=(1/2)x的作图过程。
3.观察特征:教师引导学生观察上述两个图像的特征,并推广到一般情形。
4.归纳性质:根据图像特征,写出它们的性质。
(二)改进设计
在前面学生分组用多媒体做出y=2x,y=(1/2)x,y=3x,y=5x,y=10x,y=0.2x,y=0.7x等函数图像的基础上,教师引导学生观察、讨论、归纳得出性质。
1.自主观察:对一般的指数函数,图像有哪些特征?
2.分组讨论:学生分组讨论后,展示讨论的结果。除得到图像的一般特征,更值得一提的是,有的学生还说出了函数y=2x与y=(1/2)x的图像关于y轴对称等特征。
3.归纳性质:根据图像特征,写出它们的性质。
4.作示意图:根据指数函数的性质,教师让学生作出y=8x,y=0.6x等函数图像的示意图。
师:观察与猜想是一种感性认识,并不表示结论一定正确,还需要进行理性证明……
(三)教学反思
新课程标准指出:要改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现象,倡导主动学习、乐于探究，勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析解决问题的能力及交流合作的能力。因此,教师要把学习过程中的发现、探究、研究等认知活动突显出来，使学习过程更多地成为学生发现问题、研究问题及解决问题的过程。
原始设计在实际教学中,活动缺乏内在联系,加上教师的束缚,活动单一,学生得出图像分两类显得较为生硬,接着研究的一般情形又似乎来得“突然”,从特例到一般情形并未起到搭桥引渡的作用,形成了一个认知难点。
改进后,改变了教学方法,教师放弃了全程主导,把学习的主动权交给了学生,由他们自己去观察、去发现,在学生交流、研讨、互动的过程中,学生观察深入,思维活跃。在与学生的互动交流中指导学生,并积极地关注、倾听学生的交流。
学生是学习的主人,自主学习是他们的天然权利, 让学生体会到对函数学习的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。（作者单位：新疆沙湾县教师进修学校）
参考文献：
［1］ 罗文杰.指数函数的教学设计［J］.广东教育,2007,(7):205-207.
关键词:指数函数;教学设计;教学案例;多媒体;有效教学
指数函数是高中数学的重点内容之一,从教学要求看,一是理解指数函数的定义;二是掌握指数函数的图像与性质。下面是笔者在公开教学中对指数函数教学设计的三处改进。
案例一:新课引入的改进
(一)原始设计
1.复习旧知:
②函数y=x的定义域是
2.引入新课:师问:函数y=()与函数y=x,从形式上看有什么不同?生答:从形式上看,前者指数是自变量,后者底数是自变量。(引入课题)
(二)改进设计
1.创设情境:有人说,将一张白纸对折50次以后,其厚度超过地球到月球的距离,你认为可能吗?设白纸每张厚度为0.01mm,已知地球到月球的距离约为380000千米。
对折的层数y与对折次数x的函数关系式是什么?设纸的原面积为1,对折后纸的面积z与对折次数x又有什么关系?(y=2x,z=()x)
2.提出问题:师问:能发现y=2x,z=()x的共同点吗?
学生思考片刻,教师提示:从形式上,有什么共同点?并用红粉笔标出指数x。
生答:指数x是自变量,底数是大于0且不等于1的常数。(引入课题)
(三)教学反思
凯洛夫的“五环节”教学理论:“复习旧课—导入新课—讲授新课—巩固—作业”目前还深深地影响着我们的教学。但如果总是这样一成不变,就显得呆板与程式化。我们现在上课总喜欢说:“今天我们学习……”。教师不说,学生不问,教师怎么讲,学生就怎么学。我们知道,数学来源于生活,又应用于实践。在原始设计中,先复习与新授知识相关的内容,然后再从实际引入新课,与教材编排相一致,这样就数学讲数学,显得枯燥无味,很难调动学生的学习兴趣。为此,从学生感兴趣的一个生活实例出发,引起学生注意与争议,教师再创设实际问题情境,就激发了学生的学习兴趣,牢牢地吸引了学生的注意力,增强了学生的求知欲望,强化了学生内在的学习需求,巧妙地导入了新课。
案例二:多媒体使用的改进
(一)原始设计
1.电脑作图:教师用多媒体演示y=2x、y=()x的作图过程。
2.观察猜想:教师引导学生观察y=2x、y=()x的图像,猜想y=3x的图像形状。
3.电脑验证:教师用几何画板做出y=3x的图像,验证猜想。
4.归纳猜想:由特殊到一般,给出指数函数的图像分为01两类,并用多媒体演示它们的图像特征和性质。
(二)改进设计
1.学生作图:在教师的指导下学生分组后用几何画板作y=2x、y=()x的图像。然后,让学生在电脑上作y=3x,y=5xy=10x,y=0.2x,y=0.7x等函数的图像,并对图像形状的变化加以观察与讨论。
2.猜想形状:让学生猜想函数y=8x,y=0.3x的图像形状,师生讨论,并列出有关观察结论。
3.分组探究1:一般地指数函数的图像大致有几类(几种走势)?
4.分组探究2:分别满足什么条件的指数函数图像大致是图1、图2?
5.电脑验证:用几何画板作y=ax(a>0且a≠1)图像,任意改变a的值,展示底变化对图像的影响。
(三)教学反思
原始设计,多媒体演示放在猜想之后,仅仅起了一个验证的作用,体现不了机辅助教学的目的,有点画蛇添足,成了一种花架子。
改进之后,按照“动手操作—创设情境—观察猜想—验证证明”的思路设计,首先电脑作图,为学生观察、交流创设情境;然后,引导学生深入细致地观察图像,学生在相互争论、研讨的过程中进行民主交流,倾听他人意见,分享研究成果,猜想出图像分两种情形;最后,再用多媒体验证猜想。这样设计符合学生的认知和思维习惯,激发了学生的求知欲,增强了学习的自信心,张扬了学生的个性,顺利地解决了这一教学难点。
我们在使用计算机辅助教学时,千万不要忘记“辅助”二字,辅助在不用多媒体教学时的难点处,辅助在点子上,而不能为了用多媒体而用多媒体。案例三:指数函数的性质发现过程的改进
(一)原始设计
1.师生作图:教师作y=2x的图像,以作示范。然后学生模仿作y=()x的图像,以巩固作图方法。
2.电脑演示:教师用多媒体演示y=2x、y=()x的作图过程。
3.观察特征:教师引导学生观察上述两个图像的特征,并推广到一般情形。
4.归纳性质:根据图像特征,写出它们的性质。
(二)改进设计
在前面学生分组用多媒体做出y=2x,y=()x,y=3x,y=5x,y=10x,y=0.2x,y=0.7x等函数图像的基础上,教师引导学生观察、讨论、归纳得出性质。
1.自主观察:对一般的指数函数,图像有哪些特征?
2.分组讨论:学生分组讨论后,展示讨论的结果。除得到图像的一般特征,更值得一提的是,有的学生还说出了函数y=2x与y=()x的图像关于y轴对称等特征。
3.归纳性质:根据图像特征,写出它们的性质。
4.作示意图:根据指数函数的性质,教师让学生作出y=8x,y=0.6x等函数图像的示意图。
师:观察与猜想是一种感性认识,并不表示结论一定正确,还需要进行理性证明……
(三)教学反思
新课程标准指出:要改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现象,倡导主动学习、乐于探究,勤于动手,培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析解决问题的能力及交流合作的能力。因此,教师要把学习过程中的发现、探究、研究等认知活动突显出来,使学习过程更多地成为学生发现问题、研究问题及解决问题的过程。
上述两种设计都注重让学生从事有意义的数学活动,都涉及了学生的探索活动和经常使用的研究方法,如从特殊到一般,再由一般到特殊,类比、联想、猜想等。
原始设计在实际教学中,活动缺乏内在联系,加上教师的束缚,活动单一,学生得出图像分两类显得较为生硬,接着研究的一般情形又似乎来得“突然”,从特例到一般情形并未起到搭桥引渡的作用,形成了一个认知难点。这样的设计没有真正发挥学生的主体作用,实际上还是教师主导着课堂,牵着学生走,还是在教知识、教教材,是一种主导性教学模式。
改进后,改变了教学方法,教师放弃了全程主导,把学习的主动权交给了学生,由他们自己去观察、去发现,在学生交流、研讨、互动的过程中,学生观察深入,思维活跃,富有创造性。教师则以学生伙伴的角色参与学生的认知学习,在与学生的互动交流中指导学生,并积极地关注、倾听学生的交流。这样设计符合学生的认知和思维习惯,为学生营造了安全的心理环境,学生非常顺利地学习了指数函数的性质,而且学生觉得这些思想方法是非常的,可以学到手且以后能用得上,为今后的学习作了必要的铺垫,这是一种典型的指导性教学模式。
学生是学习的主人,自主学习是他们的天然权利,任何硬性灌输和强制训练都是侵犯学生学习主权的行为。
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[1]罗文杰.指数函数的教学设计[J].广东,2007,(7):205-207.
(1)理解指数函数的概念，能画出指数函数的图像；
(2)能应用指数函数概念解决简单的数学问题；
(3)从图像和解析式的不同角度研究指数函数性质；
(4)培养学生主动学习、合作交流的意识，使学生获得研究函数的规律和方法。
二、教学重点与难点
(1)教学重点：指数函数的概念、图像和性质。
(2)教学难点：对底数的分类，如何由图像、解析式归纳指数函数的性质。
三、教学过程
1.利用电子白板的特点，创设有效的数学情景、提出问题、引入课题
电子白板投出：“某种细胞分裂的示意图”(如图1所示)， 提出问题：这种细胞每过30分钟就由1个分裂成2个，设想经过900分钟(15个小时)后会产生多少个细胞？
图1
学生回答后，教师在白板上拖动文本框，公布估算的数据：900分钟后细胞总个数10.74亿个。
教师提问：在上面这个问题中，细胞个数用y表示，分裂的次数用x表示，y与x之间的关系是什么？
学生得出公式y=2x( x∈N* )
问：如果经过990分钟(16.5小时)后细胞总数是多少？
师生用白板计算：990分钟后细胞总个数85.90亿个。
教师：y=2x 就是我们今天要学习的指数函数。
设计意图：利用白板创设问题情境，引出课题―指数函数，让学生体验从简单到复杂，从特殊到一般的认知规律，激发学生学习新知的兴趣和欲望。
2.利用电子白板进行师生互动、探究新知，找出规律
(1)指数函数的定义
教师在电子白板上投影关系式 y=0.84x
叙述：我们在本章开始的学习中，接触到一个与y=2x 类似的关系式，y=0.84x。
问题：①y=2x 和y=0.84x这两个解析式有什么共同特征？(是指数形式)
②它们能否构成函数？(能)
③它们是否是我们已学过的函数类型？(否)
教师通过上述问题，引导学生观察上述两个函数的共同特点：指出指数函数的表达式的特点，指数是自变量。用字母a代替底数，上述两式可以表示成y=ax的形式。称作指数函数。
设计意图：人天生有模仿和尝试的欲望，学生此前已经学过一次函数、反比例函数、二次函数，这时用白板创设一个看似认识，但又不同的函数，引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型，在具体问题中抽象出共性，激发学生的学习兴趣，建立概念。
(2)指数函数中底数的分类
问题：在指数函数中，底数可以为下列3类吗？
①a＜0
②a=0
③a=1
你能写出上述3种情况下的指数函数形式吗？
学生上台在电子白板上书写几个符合上述条件的指数函数形式。
教师引导学生分析上述底数与指数之间的关系，说明一般情况下不研究这3种情况的指数函数。本课我们主要研究当a＞0且a≠1时的指数函数的性质。
问学生： y＝2×3x是指数函数吗？
教师分析：有些函数式貌似指数函数，实际上却不是，如 y＝ax+k (a＞0且a≠1，k∈Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y=a-x(a＞0，且a≠1)，因为它可以化为 y＝(a-1)x，其中a-1＞0，且a-1≠1。
例题讲解：下列函数为指数函数的有 ② ③ 。
①y=x2 ； ②y=8x； ③y=(2a-1)x(且a≠1)；④ y=(-4)x。
学生在白板上用拖动的方式，将②，③2个正确答案的序号拖到填空线上。
设计意图：底数的分类是本节课的难点，只有认识清楚底数a的特殊规定，才能理解指数函数的定义域；并为后续学习打好基础。让学生通过白板写出三种情况下的指数函数形式，然后指出问题，可使学生加深印象，再通过练习强化概念的理解和应用。
(3)指数函数的图像和性质
教师在电子白板上投影(见表1)：
表1 分析y＝ax的图像和性质
请学生分成小组讨论，完成上表中的图象和解析式。
学生活动：分成两组，一组讨论指数函数的解析式，另一组研究指数函数的图像；然后进行交流。
交流、总结：教师在电子白板上用几何画板软件，改变参数a的值，追踪y＝ax的图像，让学生在图像的变化过程中，观察图像的变化规律和指数函数的性质。
师生共同总结指数函数的图像和性质，教师边总结边在电子白板上分步显示表1的图像和解析式(见表2)。
表2 分析y＝ax的图像和性质
设计意图：通过学生的自主探索、合作学习，变被动为主动，学生成为学习的主人，让学习过程成为一种自觉的行动，从而加深学生对指数函数图像和性质的理解、记忆。
3.应用典型例题理解概念
(1)练习：在同一平面直角坐标系中画出y=3x和 y=(1/3)x的大致图像，并说出这2个函数的性质；
(2)例1：已知指数函数f(x)=ax的图像经过点 (3,27)，求f(0)，f(1)，f(-3) 的值。
(3)例 2： 比较下列各题中两个值的大小。
①1.82.5，1.83.2 ；②0.61.2 ，0.6-1.2 ；③1.50.6 ，0.61.5 。
根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？
教师用电子白板讲解、画图、板书，与学生互动交流、小结。
设计意图：例题设计围绕所学的内容，引导学生理清思路，在熟悉指数函数单调性的基础上学会构造指数函数方法，利用单调性比较两个幂的大小。解题后及时引导学生进行小结，总结在数学活动中所获取的数学经验，领悟数形结合的数学思想方法。
4.巩固训练提升总结
(1)若函数y =(a－1)x 在R 上为减函数，则a的范围为
(2)已知下列不等式，比较m，n 的大小。
① am
② am>an ( a＞1 )；
③ m=a2.5，n=a3(a＞0，a≠1 )。
设计意图：检查教学目标是否达成，对学生出现的错误，师生及时用白板进行纠正。
四、教学反思
本节课的设计力求能体现新课程的教学理念，采用如下教学模式：创设情境学生活动意义建构形成概念知识运用回顾反思。
利用白板工具，改变教学方法，创设情境，从不同的角度理解指数函数，通过对比总结得到指数函数的性质，让学生体会研究方法。
白板的使用，增强了课堂教学的交互性，操作性，学生在动手操作的过程中学习知识，形成概念，探究方法，反馈练习，提高了教学的有效性。
参考文献
[1] 叶文俊. 电子白板在数学教学中的应用[J].中国信息技术教育，2011，8
关键词：C语言教学；函数分类；函数编程
中图分类号：G642 文献标识码：B
文章编号：1672-5913(2007)18-0056-03
1前言
很多从事C语言教学的高职高专老师感到学生学习函数时很吃力，而且效果不好。学生学了之后，语法知识知道一些，但具体编程能力则很弱。如何改变这种状况？下面先从分析传统教学方案开始。
为了便于叙述，下面我们所讨论的内容仅限于如何进行函数的定义与调用。
2传统教学方案概要及分析
目前大多数高职高专学校依然采用传统的教学方案，其概要如下。
2.1传统教学方案概要
(1) 教学目标
理解函数的基本概念，如形参、实参、调用等；掌握函数的定义、声明、调用等语法规定；掌握函数的参数使用格式及其数据传递的机理。
(2) 教学内容及安排
1) 函数定义的三种形式及其定义格式。具体包括：无参函数、有参函数、空函数。
2) 形参、实参与返回值。具体包括：形参、实参与返回值的概念；形参、实参的若干注意点；return语句的格式及其作用；函数类型，默认的函数类型。
3) 函数的调用。具体包括：函数调用以及函数调用的三种方式――函数单独作为语句、函数作为一个表达式、函数作为另一个函数调用的实参。
4) 函数的声明。具体包括：函数的声明格式、函数声明的位置，什么情况下可以省略函数的声明。
5) 函数定义和调用举例。
上述方案可以分为两部分，第一部分是语法知识，包括上述的1~4，第二部分是函数编程举例，即上述的5。
2.2传统方案在高职高专教学中的问题
(1) 语法角度的罗列对编程没有直接的指导作用
传统方案中，语法知识是从语法角度系统地进行罗列，从函数形式、参数等分别进行介绍，这种语法角度的罗列对编程没有直接的指导作用，学生编程时不知道该选择哪种形式。
(2) 开始时过多的语法介绍影响了编程实例的讲解效果
传统方案中首先系统详细介绍函数、形参、实参等概念与语法知识，这些概念讲授花了大量时间，学生的接受效果却不理想，后面的函数编程等实用知识的讲授时间不够，学生就更难以接受了。
(3) 编程思路与步骤方面的训练不够
对于高职高专学生来说，拿到一个涉及函数的编程题目，如何开始着手编程，应该采取什么样的步骤和思路，针对不同的问题如何采取相应的对策，这在传统教学方案中训练不够。
由于高职高专传统教学方案存在的上述问题，导致学生学完之后掌握了不少的语法知识，但碰到实际编程题目时还是有困难。
由此可见，设计一种新教学方案时，应该首先考虑编程能力的培养，为此我们提出一种新的函数分类方法。
3一种新的函数分类方法
从语法角度，通常是从参数个数和有无函数体方面将函数分为无参函数、有参函数、空函数三类，但这种分类方法对学生编程帮助不大。为了让学生能最快掌握编程方法，需要一种新的函数分类方法。
从编程角度，我们通常首先考虑编写函数的目的，然后着手编写和使用函数。根据编写函数的目的、功能或者说用途，函数可以被分为以下三类：
1) 求值类函数：使用这种函数是为了求一个值。如函数A，其功能是根据收入计算一个人的所得税。
2) 判断类函数：使用这种函数是为了检查一个判断是否成立。如函数B，其功能是判断一个整数是不是素数。
3) 操作类函数：使用这种函数是为了完成某一项操作。如函数C，其功能是将一个数组进行排序。
上述三种类型的函数在定义和调用时其方法均有明显的差异。学生拿到涉及函数的编程题目时，应该首先分析所要编写的函数是上述的哪一种类型，然后再采取相应的编程方法。
4新教学方案
基于上述新的函数分类方法，针对高职高专学生给出一种新的教学方案，其核心指导思想是：根据不同的函数类别，分别给出完整的一套编程方法，最快最直接地教会学生如何编写和使用函数。
4.1教学目标
新教学方案的教学目标只有一个：从编程角度出发进行教学，尽快让学生学会编写和使用函数。
4.2教学内容和安排
首先简单介绍一下函数最基本的概念，但不需占用过多教学课时，要把最主要的时间放在编程方法的传授。至于各概念与语法细节的进一步掌握，应该通过学生多编程而逐步加深理解。
(1) 通过认识法理解各概念
给出少数几个程序实例，引导学生认识函数、函数头、函数体、形参、实参、调用、定义等概念，在讲解概念时尽量简化，让出更多教学课时传授编程方法。
(2) 传授各种类型的函数编程方法
1) 求值类函数的定义与调用。讲解求值类函数定义和调用方法：
求值类函数的一般定义格式：
函数值类型 函数名(类型 形参1, 类型 形参2, ……)
{
根据形参的值计算所求的值;
return 结果;
}
求值类函数的定义步骤是：
① 编写函数头：根据函数所求值的数据类型确定函数值类型，分析函数要提供的参数及其类型从而确定形参。
② 编写函数体：根据提供的参数 (即形参) ，求出所需的值，最后返回 (return) 该值。
求值类函数在调用时通常作为表达式使用，可用于赋值、输出、运算、或作为另一个函数调用的实参。调用格式：
函数名(实参1，实参2，……)
在讲授中，应多举例子让学生完全理解与掌握其方法。
2) 判断类函数的定义与调用。讲解判断类函数定义和调用方法。
判断类函数是一种特殊的求值类函数，其值为1或者0，表示判断成立与不成立。因此判断类函数值的类型固定为int。下面给出判断类函数的一种参考格式：
int 函数名(类型 形参1, 类型 形参2, ……)
{
int f; /* 代表判断结果 */
根据形参的值进行判断,判断成立则令f为1，否则令f为0
return f；/* 将判断结果返回 */
}
判断类函数调用时通常用于在选择结构或循环结构中作为判断条件。如：
if (函数名(实参1, 实参2,......)==1)......
在讲授中，通过举例让学生完全理解与掌握其方法。
3) 操作类函数的定义与调用。讲解操作类函数定义和调用方法。
操作类函数不是为了求值，即函数没有值，其函数值的数据类型是void。函数体中不能使用return (值); 语句来返回一个值，但可以使用return来结束函数的运行返回到主调函数。
操作类函数定义格式：
void 函数名(类型 形参1, 类型 形参2, ……)
{
根据形参的值进行处理
return；/*或者无return */
}
操作类函数调用时通常单独作为语句，其调用格式：
函数名(实参1，实参2，……)；
在讲授中，通过举例让学生完全理解与掌握其方法。
(3) 综合编程举例
再举若干编程例子，引导学生如何判断函数的类型，然后再根据前面传授的方法进行编程，巩固学生的编程能力。
4.3一个编程实例教学设计概要
下面给出一个具体编程实例的教学设计，为方便说明主要问题，忽略了其他的一些教学细节。
例：编写函数计算一个整数的阶乘。利用函数计算8!-4! 5!。
编程步骤：
1) 判断函数类型。所要编写的函数是为了求值――阶乘，因此是求值类函数，下面其定义和调用将采用前面给出的方法。
2) 编写函数头。函数值 (即阶乘) 的数据类型为int，因此函数的数据类型为int。求阶乘需要提供一个整数(即形参)，据此可以写出函数头。
int jiecheng(int x)
3) 编写函数体。函数体的内容是求出形参 (在这里是x) 的阶乘，然后将其返回。
{
int r,i;
r=1;
for(i=1;i
return r;
}
4) 函数调用。main函数中调用求值类函数时，需要提供实参，然后将函数值作为表达式进行运算。
main()
{
printf("%d\n", jiecheng(8)-jiecheng(4)* jiecheng (5));
}
注意：在讲解时要时时联系4.2.2中的编程方法。通过例子的讲解使得学生对4.2.2中的编程方法加深理解并能灵活运用。
4.4若干注意点
(1) 语法细节的淡化
在传授编程方法时应尽量淡化或避开一些语法细节，比如避免在一开始过多强调函数的声明及其各种可省略声明的条件，可有意识地引导学生将函数定义在前、调用在后，避开函数声明；编程举例时避免向学生传授如何省略函数头前面的函数值类型，引导学生所有函数定义时都要加上类型说明；避免一开始就向学生传授参数传递的机理，可在编程举例时引导学生如何提供不同的参数让函数进行相应的处理，让学生对实参和形参有一个直观的认识。
(2) 掌握一种函数以后，再传授下一种函数
考虑到学生的接受能力，不要把求值、判断、操作这三种函数的编程方法一下子传授给学生。可以先传授求值类函数的编程方法，然后多举例子，让学生充分掌握后，再传授其他两种函数的编程方法。
(3) 涉及函数的程序分析
程序分析是提高程序调试与维护能力的基础。在学生能够顺利进行编程之后，可以对学生进行程序分析能力的训练。
避免在学生尚未掌握编程方法时就引导学生进行程序分析，等学生能熟练地自主编程以后，再引导学生进行程序分析，使得学生编程碰到错误时能够自己解决。
5两种教学方案对比
5.1目标定位与侧重点不同
传统教学方案中重点在于各语法知识点，编程方法则不突出；新教学方案中重点在于介绍三类函数的编程方法，语法知识点尽量淡化。
5.2传授的角度不同
传统教学方案从语法角度进行教学，有利于掌握语法知识点，不利于掌握编程方法；新教学方案从编程角度进行教学，与编程者编程时的思路更加吻合，更容易掌握方法。
5.3效果对比
传统教学方案的优势是能全面介绍语法知识，让学生能全面准确地理解所有概念和语法，劣势是基础较差的学生较难自主编程；新教学方案的优势是学生能很快自主编程，劣势是对个别概念和语法不能一下子全面准确掌握，需要在编程过程中逐步加深体会。
5.4适合的学生对象不同
新教学方案较适合高职高专类学生，对于基础较好的本科学生或者已经学过其他语言的学生，可采用传统的教学方案。
6结束语
笔者采用新的教学方案进行了三年的高职高专教学，与之前的教学情况相比，发现大部分学生均能较快掌握编程要领，自主进行编程。
参考文献
[1] 徐晓，匡泰，涂嘉庆等. C语言程序设计实践教程[M]. 北京：电子工业出版社，2006.
关键词：幂函数；案例设计；创新
一、中职幂函数教学单元的定位
1.课程定位
2.教案设计理念
在中职数学教学过程中，绝大多数执教教师发现，若没有数学认知和自我总结的实践过程，而是仅仅以结论提供方式的记忆式学习，往往容易造成学生解题时的困惑，这与其尚未真正掌握幂函数规律密切相关，故而本教案设计的核心原则在于避免以往的“告诉”式，而是以建构的理念，还学生以知识认知与理解掌握的主动权，鼓励学生在自我探究的过程中发现幂函数基本规律及其性质、属性，并同时结合教师的引导对知识进行确认与巩固，通过反复的、源自于幂函数性质规律各角度的练习，进行幂函数深入学习。“授人以渔”的指导思想让学生学会知识摸索与探求的基本学习规律和技巧。
3.教学基本情况分析
本节课程的授课对象为中职学生，基于其对函数一定量的基本概念与性质认知，函数研究思路与方法也有所熟悉，幂函数课程是结合并运用已知指数和对数函数概念、性质和图象及结题运用，开展教学的知识模块。但由于刚步入中职，对初中学习阶段的各种学习特点及习惯仍有所保留，而且能力和思维模式的发展仍属于转折成型期，所以教师须把握幂函数教学创新的体验、契机，对中职学生进行数学理性思维和类比等思维的培育，并获得幂函数教学的良好效果。
4.教材要求与目标设定
幂函数作为改革教材的重点内容，在现行中职类专业教学的数学教材中处于指数函数与对数函数之后，主要目的在于比对上述函数的复杂性之后，鼓励学生结合指数函数、对数函数进行归纳分析总结。
本教案所涉课程的主要内容为幂函数，主要以结合实例引用概括幂函数概念，在学生了解识记幂函数结构特征的基础上，了解其与指数函数和对数函数的区别，并通过特殊简单函数的图象比对进行观察、分析与总结。教学目标为结合一次、二次和指对函数的特性对比，培养学生数学的对比结合和相应的分析归纳能力，并提升其数形结合、特殊上升到一般、归纳类比的逻辑思维。
二、教学案例实施过程
1.以学生业已熟悉的各类简单函数的引出，进行学生函数思维的重新建立，如运用（1）p=k，（2）S=x2；（3）V=ax3；（4）r=■；（5）v=s・t-1提问学生上述函数在其“形状”变化上的一些共同特点，进而引出y=x，y=x2，y=x3，y=■，y=■，y=■，再结合一定时间的学生讨论，引导学生归纳幂函数的变化特征为以x为自变量，a为特定常数作为其指数所构成的y=xa，这一函数称为幂函数。经过上述幂函数的引入教学，学生被自然地带入对于类似函数的思考研究中，从而获得一定程度的概念性认知。而且该方法突出了本教案设计的“用教材而不是教教材，要创造性地使用教材”的教学创新原则，尊重教材的同时适当创新教材展示与教学设计。
2.基于幂函数引入的课堂导入，使学生获得幂函数理解认知，并提示指出幂函数结构中的x自变量位置，并以其与指数函数的位置进行直观对比，从而将复杂的幂函数与指数函数结构易混淆问题变为简单且不易遗忘的形状识记。同时，可以配合一定量的各种幂函数举例辨别，分辨并总结各类幂函数，在此基础上又对幂函数的形式进一步探析。接着，对幂函数的一般形式进行进一步探析。当然基于课程的教案创新改革必须秉持一贯的教学目标及其实施，也不能一味地进行脱离教学规律的教法创新。
总之，作为逐步发展的教学教法创新过程中的教学革新，都需要广大教学工作者充分结合学生现实、教材现实、教学现实、教育发展现实，中职数学中的幂函数不能以简单的给定义、告性质、做练习的模式进行，更应充分结合学生特点及其自有知识结构体系与认知能力特性，进行综合性创新。
参考文献：
[1]黄邦杰.例谈幂函数的教学设计与教学[J].课程教材教学研究：中教研究，2010.
1.能够运用函数的性质，指数函数，对数函数的性质解决某些简单的实际问题．
(1)能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本，弄清题中出现的量及其数学含义．
(2)能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题，并调动函数的相关性质解决问题．
(3)能处理有关几何问题，增长率的问题，和物理方面的实际问题．
2.通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培养学生分析问题，解决问题的能力和运用数学的意识，也体现了函数知识的应用价值，也渗透了训练的价值．
3.通过对实际问题的研究解决，渗透了数学建模的思想．提高了学生学习数学的兴趣，使学生对函数思想等有了进一步的了解．
教学建议
教材分析
（1）本小节内容是全章知识的综合应用．这一节的出现体现了强化应用意识的要求，让学生能把数学知识应用到生产，生活的实际中去，形成应用数学的意识．所以培养学生分析解决问题的能力和运用数学的意识是本小节的重点，根据实际问题建立数学模型是本小节的难点．
（2）在解决实际问题过程中常用到函数的知识有：函数的概念，函数解析式的确定，指数函数的概念及其性质，对数概念及其性质，和二次函数的概念和性质．在方法上涉及到换元法，配方法，方程的思想，数形结合等重要的思方法．．事业本节的学习，既是对知识的复习，也是对方法和思想的再认识．
教法建议
（1）本节中处理的均为应用问题，在题目的叙述表达上均较长，其中要分析把握的信息量较多．事业处理这种大信息量的阅读题首先要在阅读上下功夫，找出关键语言，关键数据，特别是对实际问题中数学变量的隐含限制条件的提取尤为重要．
（2）对于应用问题的处理，第二步应根据各个量的关系，进行数学化设计建立目标函数，将实际问题通过分析概括，抽象为数学问题，最后是用数学方法将其化为常规的函数问题(或其它数学问题)解决．此类题目一般都是分为这样三步进行．
（3）在现阶段能处理的应用问题一般多为几何问题，利润最大，费用最省问题，增长率的问题及物理方面的问题．在选题时应以以上几方面问题为主．
教学设计示例
函数初步应用
教学目标
1.能够运用常见函数的性质及平面几何有关知识解决某些简单的实际问题．
2.通过对实际问题的研究，培养学生分析问题，解决问题的能力
3.通过把实际问题向数学问题的转化，渗透数学建模的思想，提高学生用数学的意识，及学习数学的兴趣．
教学重点，难点
重点是应用问题的阅读分析和解决．
难点是根据实际问题建立相应的数学模型
教学方法
师生互动式
教学用具
投影仪
教学过程
一.提出问题
数学来自生活，又应用于生活和生产实践．而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识，数学思想与方法．如刚刚学过的函数内容在实际生活中就有着广泛的应用．今天我们就一起来探讨几个应用问题．
问题一：如图，是边长为2的正三角形，这个三角形在直线的左方被截得图形的面积为，求函数的解析式及定义域．(板书)
(作为应用问题由于学生是初次研究，所以可先选择以数学知识为背景的应用题，让学生研究)
首先由学生自己阅读题目，教师可利用计算机让直线运动起来，观察三角形的变化，由学生提出研究方法．由学生说出由于图形的不同计算方法也不同，应分类讨论．分界点应在，再由另一个学生说出面积的计算方法．
当时，，(采用直接计算的方法)
当时，
．(板书)
(计算第二段时，可以再画一个相应的图形，如图)
综上，有，
此时可以问学生这是什么函数?定义域应怎样计算?让学生明确是分段函数的前提条件下，求出定义域为．(板书)
问题解决后可由教师简单小结一下研究过程中的主要步骤(1)阅读理解；(2)建立目标函数；(3)按要求解决数学问题．
下面我们一起看第二个问题
问题二：某工厂制定了从1999年底开始到2005年底期间的生产总值持续增长的两个三年计划，预计生产总值年平均增长率为，则第二个三年计划生产总值与第一个三年计划生产总值相比，增长率为多少?(投影仪打出)
首先让学生搞清增长率的含义是两个三年总产值之间的关系问题，所以问题转化为已知年增长率为，分别求两个三年计划的总产值．
设1999年总产值为，第一步让学生依次说出2000年到2005年的年总产值，它们分别为：
2000年2003年
2001年2004年
2002年2005年(板书)
第二步再让学生分别算出第一个三年总产值和第二个三年总产值
=++
=．
=++
=．(板书)
第三步计算增长率．
．(板书)
计算后教师可以让学生总结一下关于增长率问题的研究应注意的问题．最后教师再指出关于增长率的问题经常构建的数学模型为，其中为基数，为增长率，为时间．所以经常会用到指数函数有关知识加以解决．
总结后再提出最后一个问题
问题三：一商场批发某种商品的进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促进销售，拟采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法，试验表明，礼品价格为1元时，销售量可增加10%，且在一定范围内礼品价格每增加1元销售量就可增加10%．设未赠送礼品时的销售量为件．
(1)写出礼品价值为元时，所获利润(元)关于的函数关系式;
(2)请你设计礼品价值，以使商场获得最大利润．(为节省时间，应用题都可以用投影仪打出)
题目出来后要求学生认真读题，找出关键量．再引导学生找出与利润相关的量．包括销售量，每件的利润及礼品价值等．让学生思考后，列出销售量的式子．再找学生说出每件商品的利润的表达式，完成第一问的列式计算．
解：．(板书)
完成第一问后让学生观察解析式的特点，提出如何求这个函数的最大值(此出最值问题是学生比较陌生的，方法也是学生不熟悉的)所以学生遇到思维障碍，教师可适当提示，如可以先具体计算几个值看一看能否发现规律，若看不出规律，能否把具体计算改进一下，再计算中能体现它是最大?也就是让学生意识到应用最大值的概念来解决问题．最终将问题概括为两个不等式的求解即
(2)若使利润最大应满足
同时成立即解得
当或时，有最大值．
由于这是实际应用问题，在答案的选择上应考虑价值为9元的礼品赠送，可获的最大利润．
三．小结
通过以上三个应用问题的研究，要学生了解解决应用问题的具体步骤及相应的注意事项．
四．作业略
五．板书设计
2．9函数初步应用
问题一：
解：
问题二
分析
问题三
