时间：2023-08-04 16:59:16
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函数，是初中阶段中数学教学的重点，也是学生学习的难点。但是，不可否认，作为综合性极强、探究性极高的知识，函数教学对学生数学思维的激发和培养有着极其重要的作用和意义。故此，对初中数学函数教学所能培养学生数学思维的能力进行重点分析，并深入探究函数教学培养学生具体能力的措施和方法，不仅有利于初中学生学习水平的提升和强化，还有利于我国初中数学教学事业的整体发展和进步。
一、选择判断能力及其培养方式
（一）概念
作为数学创造能力的主要构成部分，选择能力和判断能力不可或缺。这一能力的表现主要可以从两个方面进行：一，判断和确定数学推理的基本过程以及最终结论正误。二，估计并选择数学相关的命题、解决思路、事实、以及最佳方案等。从某种程度分析，判断能力其实就是思维者对自身思维活动的自我反馈能力，而选择能力则是思维者综合考虑所有因素后最终做出决定的能力。
（二）培养方式
学生在学习函数相关知识时，必然离不开相应的的数学选择能力和判断能力。故此，在具体的函数教学过程中，教师可以利用函数正反面变式对学生进行选择判断能力的培养和提升。也就是说，让学生针对函数正反面变式进行题组和问答的选择与判断，在一系列的解答过程和判定过程中，不断培养学生相应的选择能力和判断能力。
二、抽象概括能力及其培养方式
（一）概念
从本质上讲，数学范围内任何的概念、规律、算式或是符号，都可以称为是抽象概括的结果。所以，想要将学生对事物的感性认知成功转变成理性认知，就需要培养学生的抽象概括能力。作为智力与能力的核心成分，思维至关重要，但是，概括作为思维最基本的特征，在其自身发展和后续培养过程中有着极其重要的作用和意义。
（二）培养方式
在初中数学的函数教学中，大部分函数知识的教学都可以有效培养并提升学生的抽象概括能力。以“一次函数”的相关知识为例，不仅让学生学习了正比例函数的概念、性质、特征以及常用表达公式y=kx等，还经过知识扩展和推广，让学生理解了一次扩展函数y=kx+b的特征、概念以及性质等。客观而言，这一系列知识的学习和理解都可以归纳为学生抽象概括能力的培养和提升。另外，教师利用函数例题对学生进行相关能力培养时，也可以将函数知识与实际问题相结合，从而在不断激发学生学习兴趣的基础上，促使其抽象概括能力得以提升。
例如：一超市正在进行优惠促销活动，针对茶壶和茶杯的优惠方式有两种：一，买一送一。二，九折奉送。且两种方式的优惠前提均需要购买三个以上的茶壶。问：这两种优惠方式有差别吗？哪一种更优惠？
针对这一类题，教师就可以积极引导学生进行思维扩展和延伸，可以让学生自行设定每个茶壶和茶杯的单价以及函数未知数，然后利用两种优惠方式进行最终价格比对。在此过程中，学生通过单价确定、未知数评估、方式比对等，会形成一定程度的抽象概括能力。经过各种题型的训练，学生这一能力也会不断得到加强和提升，最终达到成熟的地步。
三、数学探索能力及其培养方式
（一）概念
数学探索能力，是一种有别于选择判断能力以及抽象概括能力的高级数学思维，是在综合了一定能力的基础上形成并发展起来的。严格意义上讲，数学探索能力其实是一个创造性思维的综合能力。在数学中，探索主要表现在数学问题的提出、数学结论的探求、数学解题途径和策略的探索以及数学解题规律的寻找等方面，而探索能力则主要表现在设想的提出以及设想转变的进行等方面。
（二）培养方式
在函数的教学过程中，想要培养学生对数学知识的探索能力，就必须切实做好课题教学的相关工作。让学生针对讨论价值高、挑战性强、探索性强的研究课题进行课题学习，不仅可以推动和促进学生应用函数相关知识进行实际问题解决和处理，使其对应的意识和能力得到深层次发展和培养，还能最大限度地帮助学生进行函数相关知识的认知、理解和记忆，使其进一步认识和理解函数变量间的关系以及变量变化的客观规律。
例如：有一长度为20米的栏杆，若一面靠墙，怎样围才能围出一个面积最大的矩形花圃？
对于这类题型的课题研究，教师可以首先要求学生进行“特殊值尝试”，将其一边长依次设为1，2，3，4，5，6，7，8，・・・，则另一边长可求出，依次为18，16，14，12，10，8，6，4，2，・・・，如此，其对应面积依次为18，32，42，48，50，48，42，32，18，・・・。通过观察可以发现其面积和设定的边长有着必然的联系，其变化规律也相当直观。由此，便可引出一元二次函数方程式：Y=x（20-2x），求出面积最大值为50。
通过这样的思维培养，相信无论是学生的选择判断能力，还是数学探索能力，都能得到一定程度的提升。
一、函数关系式与定义域
函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数
关系式可能是错误。如：
例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？
解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：
S=x（50-x）
故函数关系式为：S=x（50-x）。
如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：0＜x＜50。
即：函数关系式为：S=x（50-x）（0＜x＜50）。
这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。
二、函数最值与定义域
函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大（小）值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：
例2：求函数y=x -2x-3在［-2，5］上的最值。
解：y=x -2x-3=（x -2x+1）-4=（x-1） -4
当x=1时，y =-4
初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。
其实以上结论只是对二次函数y=ax +bx+c（a＞0）在R上适用，而在指定的定义域区间［p，q］上，它的最值应分如下情况：
（1）当- ＜p时，y=f（x）在［p，q］上单调递增函数f（x） =f（p），f（x） =f（q）；
（2）当- ＞q时，y=f（x）在［p，q］上单调递减函数f（x） =f（p），f（x） =f（q）；
（3）当p≤- ≤q时，y=f（x）在［p，q］上最值情况是：
f（x） =f（- ）= ，
f（x） =max{f（p），f（q）}。即最大值是f（p），f（q）中最大的一个值。
故本题还要继续做下去：
-2≤1≤5
f（-2）=（-2） -2×（-2）-3=-3
f（5）=5 -2×5-3=12
f（x） =max{f（-2），f（5）}=f（5）=12
函数y=x -2x-3，在［-2，5］上的最小值是-4，最大值是12。
这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。
三、函数值域与定义域
函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：
例3：求函数y=4x-5+ 的值域。
错解：令t= ，则2x=t +3，
y=2（t`+3）-5+t=2t +t+1=2（t+ ） + ≥ 。
故所求的函数值域是［ ，+∞）。
剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t +t+1在［0，+∞）上是增函数，
所以当t=0时，y =1。
故所求的函数值域是［1，+∞）。
以上例子说明，变量的允许值范围是何等重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题目后检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。
四、函数单调性与定义域
函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。
五、函数奇偶性与定义域
判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点呈中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。
综上所述，在求解函数函数关系式、最值（值域）、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变（指对定义域为R来说），对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析的能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生的思维能力，进而有利于培养学生思维的创造性。
参考文献：
［1］王岳庭主编.数学教师的素质与中学生数学素质的培养论文集.北京：海洋出版社，1998.
［2］田万海主编.数学教育学.浙江：浙江教育出版社，1993.
【关键词】初中数学；教学活动；思维含量；问题意识；方法
学生问题意识的开发与培养，对于学生的个人发展来讲有着重要的作用，更有利于学生主体地位在课堂中的体现。初中学生具有了问题意识，在课堂上就会更加积极主动地提出问题，对未知的数学知识有着无限的求知欲望，促进学生自主学习能力以及探究能力的形成。学生的数学思维量提高，问题意识形成，是学生进行数学探究与寻找数学规律的基础。学生不断提高，思维不断运动，思维量的提高与问题意识的形成是相互影响的两部分。笔者选择初中数学教学中培养学生问题意识，提高学生思维量的方法作为研究对象是有一定教育意义的。
一、提高学生学习兴趣，促进学生提问
学生的学习兴趣对于初中学生的课堂表现活跃度有着重要的影响。学生喜爱数学学科学习，就会将更多的精力投入于数学学习中，配合教师进行教学任务的开展。而学生厌恶数学学科学习，则不会与教师进行思想与言语上的任何互动，认为课堂教学与其个人的关系不大。所以，加强学生学习兴趣的提高，是对学生问题意识进行培养，促进学生数学思维含量提高的重要方法。兴趣的存在，会使初中学生的求知欲望大大提高，自主进行初中数学知识的探索与发展。在课堂教学中，教师需要利用多样化的教学方法，打破传统教学模式的限制，为学生学习兴趣的提高而做出努力。教师可以将数学教学与其它学科的知识进行联系，利用社会热点问题来引出数学知识。也可以利用多媒体为学生进行知识传递方法的改革，促进教学内容的趣味化以及教学方法的活泼化。
比如在讲解《有理数的加法与减法》的时候，教师就可以利用当前热点的社会新闻为学生进行题目的设置。教师可以利用某市公交车自燃问题的引入，向学生阐述车内共有多少人，受伤多少人，死亡多少人，让学生计算没有伤亡的人员数量。这样的课堂引入与铺垫，会使初中学生的数学思维得以扩展，更有利于激发学生的提问意识。一些学生会就公交车自燃的原因进行提问，一些学生会对车上的儿童数量进行提问，也有学生会对数学计算问题进行的提问。由此可见，当学生的学习兴趣得以提高的时候，学生的提问积极性大大提高，有利于初中学生数学思维量的提升。
二、打造平等师生关系，促进学生提问
在过去的初中数学教学活动中，学生会习惯于听取教师的讲解，只要是教师说的，对的是对的，错的也是对的。这样的教学活动中，学生将教师视为不可侵犯的神圣，不敢进行课堂提问。学生具有疑问，而不提问，使教师没有给学生机会，没有给学生勇气。当代的初中数学教师需要对自己的教学思想进行更新，不能只顾着自己的权威，而抹杀了学生的学习权利。课堂上只存在教师一个人的声音，是对学生学习主体地位的极大不尊重。教师需要与学生建立起平等的师生关系，在课堂上给学生发言的机会，让学生的声音充满数学课堂，使学生觉得有东西可以问。初中学生的数学问题意识的培养，需要习惯的养成以及成效的出现。一个良好的教学氛围，有利于师生关系的平等，也有利于初中学生质疑能力与提问能力的提高。无论学生提出多么幼稚的问题，教师都不可以取笑学生，要尊重学生提出的问题，鼓励学生再次提出问题。
比如在讲解数轴的相关知识的时候，一些学生会提出这样的问题“老师，为什么要用数轴表示数呢？”。面对学生的问题，教师要有耐心，欢迎与肯定学生的提问，为学生进行科学的讲解。不能说“这就是一种数的表示方法”这样的话来搪塞学生的提问。教师可以引导学生就自己的提问发表一些看法，让学生的思维运动起来。之后，利用大家的力量对学生的问题进行解决，在课堂中加强师生互动的频率，共同解决问题。这样平等的师生关系以及活跃的学习氛围有利于学生问题意识的培养，促进学生敢于提问。
三、构建数学激励平台，促进学生提问
让学生乐于提问，是对学生问题意识培养的一个重要环节。当学生做到自主提问与乐于提问的时候，教师对学生问题意识的培养目标也就达成了。在过去的初中数学教学中，教学模式一直局限在教师讲与学生听的模式中，单调学习方法大大扼杀了初中学生的提问积极性，也使初中学生逐渐丧失了自主学习的能力与方法。学生成为学习活动中的被动者，配合教师完成教学任务。受到传统教育思想的影响，许多教师认为在课堂上表现老实的学生就是好学生，这也是造成学生沉默的重要原因。教师要转变教学思想，认识到学生活跃对于课堂效率提高的重要作用。教师要制定合理的激励平台，让学生认识到提问对于自己具有好处，在课堂上积极进行提问。
比如教师可以将学生的课堂提问表现进行记录，在考试成绩中进行相应的加分。一次提问计为0.5分，最后计入到下一次的整体检测与考核中。这样的激励平台建立，会使学生找到提问的目标与提问的意义，更加积极的提高，保持思维在数学课堂上的运动。
综上所述，初中学生具有较为活泼的性格，他们也渴望在数学课堂教学活动中获得自由。提升学生的数学思维含量，培养初中学生的问题意识，是当前初中数学教师肯定学生地位，给予学生自由的重要思想与方法。笔者从初中数学教学内容出发，提出了三点促进学生提问，培养学生数学思维的方法。希望初中数学教师积极利用有效策略，对初中学生数学思维含量进行提高，培养学生问题意识。
【参考文献】
关键词：知识水平；思维；假设性结论
一、0“假设”与横向思维
思维的创造性是思维能力培养的关键。创造性，主要是指不墨守成规，要奇异、求变，对事物保持应有的好奇心，在课堂听讲和学习中，注意发现问题、提出问题，并且能创造性地解决问题。教师根据学生已有的知识水平和思维层次，由浅入深，有意识地制造矛盾冲突，启发他们从无疑中生疑，发展求异思维。
任意角的三角函数定义是本节课的重点和难点。按照课本安排先通过锐角三角函数的定义利用坐标推导任意角三角函数定义，然后借助单位圆下定义。在这个时候，如果直接切入“你能结合锐角三角函数定义在单位圆中用坐标表示正弦、余弦和正切吗？”这样的单刀直入，学生的学习兴趣就会大打折扣，并且任意角的三角函数与锐角三角函数之间并没有一般与特殊的关系，提出这样一个看似很有启发性的问题，学生只能通过“预习”来解决，最后很有可能就演变成教师的自说自话，学生着着实实就成了一个听众。
在这个时候，教师完全可以推出一个浅显的假设：如果正弦、余弦和正切能用坐标表示，你认为应用哪些点的坐标来表示？
并联系现实生活进行诱导：画出一个角，看哪些点与角有密切关系（预设学生回答：终边上的点）。
探索性诱导：观察P点位置，当点在哪时三角函数值既简单又方便？
经过上面三层设问很自然地引进单位圆，并轻松地解决本节的重点及难点，在思维的不断转化中体现课堂的高效。
从上可以看出，假设性提问并不是异想天开，而应根据一定的常识，围绕提出的问题可能出现的结果而展开的。而在思维的过程中，可以从两个方面入手：求同和求异。求同，即引导学生关注现象的共同点（过P始终可做三角形POM），从不同的现象中寻求所包含的共同本质和规律。求异，即引导学生关注现象之间的差别。求异思维给学生带来的思维空间远远超过求同思维（点P位置不同三个值的简单性和方便度就不同），它有利于思维翅膀更好地飞翔。
二、0“假设”与纵向思维
思维的深刻性主要是指能深刻理解概念，能周密地分析问题，并且善于抓住事物的本质和规律。所以，我们要鼓励学生，一是鼓励学生追根究底，凡事都要去问为什么，坚决摈弃死记硬背，不但要“知其然”，更要“知其所以然”。本节课的一个假设性结论：PM就是正弦；OM是余弦；AT就是正切。你认为这个假设合理吗？
这时引导学生进行追问：
（1）角的终边在哪些位置时假设成立？
（2）是不是一定就不能用这三条线来表示？若能，应做哪些改进？
利用横向思维和纵向思维的相关特点，引导学生提出“假设性”的问题，同时，利用这些假设性的问题对学生的横向思维和纵向思维再进行训练，提高思维的创造性和深刻性，这是通过数学课堂教学训练学生思维能力的方式，也是目标。和谐课既是一种教学理念，也是一种理想追求，数学课堂。只有真正开出“思维之花”，才能结出“和谐高效”之果，让我们拭目以待。
参考文献：
关键词：言语；情感；数学语言；思维素质
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1002—7661（2012）20—265—02
言语是个体借助语言材料传递信息，交流思想，表达自己的情感，和影响别人的过程。言语不能离开语言材料、语法结构而独立存在。数学言语离不开数学语言。数学语言比较枯燥乏味，所以，培养数学语言比培养语文语言要难得多。
长期以来，人们总认为发展语言能力，是语文学科的任务，其实不然。掌握言语，也是学习数学学科的必要手段，因此，在儿童入学以后，也要在数学教学中培养小学生的言语能力，才能提高学生数学方面的思维素质，很多儿童在数学学习上落后，尤其是低年级，常常是和数学方面的言语掌握得不好有很大的关系。
人的思维和言语是紧密联系在一起的，数学言语的发展，能提高数学概括水平，数学的概念，定理，公式，法则都是抽象的，是概括出来的，思维具有概括性，所以，提高了言语的发展水平，将会提高概括水平，也就提高了思维素质。
为什么要训练小学生数学方面的语言能力，这可以从下面的几个方面来概括说明。
1、开发大脑功能，提高智力水平 现代科学研究揭示，大脑左右半球各有分工：右半球具有形象，灵活，综合等形象思维的优势；左半球具有语言、计算逻辑、分析思维的优势。小学生必须在掌握了一定的数学语言规律后才能独立思考数学问题。
2、训练数学言语，有利于分析解题思路 很多学生能解题，但说不出其中的道理，或者说不准其中的理由，这不利于学生之间的情感交流，这是学生的数学言语未能得到发展的原因，而说不出或说不准道理，又会阻碍对数学的学习。
3、要提高解题能力，就要提高理解能力 数学离不开解题。理解能力强的学生，一般来说，成绩较好，相反，理解能力差的学生，能力较差。
4、训练数学言语，有助于学生总结学习经验 探索学习规律；有助于学生为将来写论文打下良好的基础，有助于老师得到学生准确的信息反馈，培养学生创造性思维，分析解题思路，只有把教学方法与学习方法有机地结合起来，才能大面积地提高教学质量。
5、小学一年级学生理解数学言语特别重要 小学一年级的数学，本来是很简单的，但他们也不是人人都能学好，一个极大的原因就是他们未能理解言语。
言语分为口头言语、书面言语和内部言语。
如何训练学生的数学言语，下面试谈我的看法。
一、训练学生的口头言语，主要从听和说两方面来加以论证
1、训练学生的口头言语 对老师本身来说，要尽量为学生营造良好的言语环境 老师的语言，应该是规范的，不能采用生僻的词语，老师在备课中，要备语言，怎样提问，怎样启发，都要写在教案本上。
2、小学生学习数学语言，应从模仿开始 刚入学的儿童老师要把数学语言说给学生听，再用本地话来解释。如：罗马人的“计算”一词与“石块”是同一个词，因为当时人们的计算是离不开石块的；有些民族的“计算”一词与“手指”是同一个词。因为人们常常用手指来帮助计算。又如：“一共”在本地是怎样解释的，先让学生与本地的某个意思对号入座，不然，不是讲普通话方言的学生就无法理解“一共”的含义。老师讲了某个数学名词术语后，再让学生复述这个名词术语及其意义，让学生模仿老师的语言。
3、老师操作教具作示范，让学生口述操作过程，这有利于培养学生认真看和口述事物发展的顺序，有利于明确算理 教学一年级学生读题，同教学语文一样，让学生跟老师读，读了以后，再让学生自己读，随着年龄的增长，要求学生自己多读数学课本，不要认为只有语文才要读，对概念，定理，法则要多读，甚至背熟，对简单的应用题，由老师经常念题，学生听，听后就做出来，这也有利于培养学生专心致志地听的习惯。
4、比较难理解的句子，要让他们多读句子的解释 如：“甲数比乙数多20%”，这样的句子，大多数学生都说不清楚它的含义，老师给他们解释后，要让他们多读，以便举一反三，它的含义是：“甲数比乙数多的数量是乙数的20%”。
5、说出每步算式的意义 把一道多步运算的应用题，先分步列出算式，再让学生说一说每一步运算的含义。如：李树有4棵，桃树比李树多2棵，一共有几棵树？第一步：4+2=6（棵）；第二步：4+6=10（棵）。问学生：每步的含义是什么？然后针对某一个算式，让他们口头编应用题。
【关键词】小学数学教学 简单应用题 应用题教学
应用题是小学数学教学的重要内容。解答应用题能使学生把认数和计算中所掌握的基础知识以及基本数量关系运用于实际，加深对四则运算意义的理解，既培养学生分析问题，解答问题的能力，发展学生的逻辑思维能力，又可以使他们受到思想品德教育。简单应用题是复合应用题的基础，它在低年级数学教材中占有非常重要的地位。笔者现就简单应用题的教学谈几点意见。
一、把握重点，建立联系
简单应用题中的数量关系可以归结为和、差、积、商4种，大体可以分为4组。
第一组是与加、减法含义有直接联系的求和与求剩余的应用题，重点是引导学生理解题意，掌握简单应用题的结构，明确题目中的数量关系，联系加，减法含义确定算法。而对于它们的变型题，如求一个加数、求被减数、减数的题目，教学中应在沟通其与求和、求剩余应用题的联系上下功夫，使学生正确掌握思考方法和解答方法。
第二组是反映两个数与它们的相差数之间的关系，需要间接运用加、减法含义进行思考的应用题。对于求一个数比另一个数多几、求比一个数多几的数的应用题来说，教学中应该以帮助学生建立相差数的正确概念、分析已知数量和未知数量的关系为重点，使学生对谁和谁比，谁多谁少，较大数能分成哪两部分有一个清晰的认识，从而与加、减法含义建立联系，确定算法。而对求一个数比另一个数少几、求比一个数少几的数的应用题，以及反叙的求比一个数多(少)几的数的应用题来说，重点是引导学生运用转换思想，沟通新、旧知识间的联系，培养学生的迁移能力。
第三组是与乘除法含义有直接联系的三种应用题，即求几个相同加数的和、把一个数平均分成几份求一份是多少、求一个数里含有几个另一个数的应用题，重点是引导学生在明确题意的基础上联系乘、除法含义进行思考。
第四组是反映两个数与它们的倍数之间的关系，需要间接运用乘、除法含义进行思考的两数倍数关系的应用题，教学中应以正确建立“倍”的概念，沟通其与乘、除法含义的联系为重点。
二、适当渗透，早期孕伏
对一年级小学生来说，应用题的启蒙教学是指在数学教学中对应用题进行适当渗透，早期孕伏。其任务是实现看图说话和看图计算，图画表示的应用题有图有文字的应用题，文字应用题的过渡，并逐步使学生了解应用题的结构，懂得应用题中条件和问题间的关系，掌握思考方法和解答步骤。一般可分为三个阶段。
一是孕伏阶段，即看图说话和看图计算。在这个阶段，教师要善于诱导，循序渐进，有意识地提前起步。一般可从“准备课”起就训练说一句完整的话，而后，再逐步训练学生说两句话、三句话。在此基础上，可结合具体题目引导学生试着将第三句话改说成疑问句，逐步熟悉题目中的数量关系。
二是准备阶段，即教学图画表示的应用题。在这个阶段，可采取如下步骤训练：（1）理解题意并了解题目中告诉了什么、求什么，初步孕伏应用题的结构；（2）引导学生根据加、减法含义确定算法；（3）列式计算。
三是过渡阶段，即教学有图有文字的应用题。要引导学生懂得“条件”和“问题”等术语，
进一步了解应用题的结构，并能根据条件和问题间的关系，联系加、减法含义确定算法，从而为文字应用题的学习打好基础。
三、观察实验，激发兴趣
低年级小学生的心理特点是好动、好奇，其思维还带有学前儿童的特点，往往离不开具体的形象。因而，借助于观察实验进行教学既有利于激发学生的学习兴趣，又可以使学生在大量的感性材料中汲取知识，
1.重视操作活动，让学生主动参与学习过程
在教学中，我们可充分利用“准备题”及有关例题，让学生想、摆、说，参与知识形成过程。
2.加强语言表述，发展抽象思维
人们是借助语言来思维的，我们要求的语言表述，主要是指不仅要使学生将操作过程表述出来，而且还要表述出自己的思维活动，将外部动作内化为自身的智力活动，这就需要一个较长期的过程，必须及早培养训练。如前面提到的培养学生说一句乃至三句话的能力，培养学生将第三句话改说成疑问句等就是如此。在操作活动中，教师应该在培养学生表述能力上下功夫。
四、强化整体，理清思路
前面谈到，简单应用题从数量关系来说大体可以分为4组，同一组应用题之间有着密切的联系。例如，第二册的相差关系应用题包括3种情况，其数量关系是相同的，只不过是已知和未知发生了变化。如果弄不清这一点，就会产生干扰，以至于数量关系混淆不清，分析时无从下手。可见，弄清这类应用题的异同，对于正确分析数量关系是至关重要的。
五、注重训练，培养能力
学生解题能力的提高，绝不是一朝一夕的事情，这需要有一个过程，为此，教师可采取不同的形式进行训练。除了一般性的常规形式外，还可采用如下方式：
1.填条件提问题的练习；
2.一题多变的练习，如改变其中的一个条件或问题等；
3.用简缩的数学语言进行表述，如求有多少朵红花就是求比5多3的数是多少；
4.对比练习；
5.判断性练习；
6.编题练习等。
有些学生的解题困难是由于没有恰当的解题策略所致，这就要求教师要善于研究、善于归纳针对不同题型的解题策略，并对学生进行恰到好处地引导、点拨。
关键词：公式； 公式教学； 引入； 推导； 字母； 逆用，变形； 整合； 活用
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2014）07-039-001
数学公式是初中数学学习的重要内容，它反映了数学对象的属性之间的关系，它具有符号化的抽象性和概括性，揭示了数学知识的基本规律，是衡量学生数学认知水平的重要载体。下面就结合自己的教学实践，谈谈在公式教学中学生思维品质的培养。
一、重视公式的引入和推导，培养学生思维的积极性和批判性
《课程标准》指出，数学课程不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。对于数学公式，不能单一的直接抛给学生，更应重视公式的形成过程，同时在推导过程中渗透数学的思想方法，帮助学生掌握公式的结构特征，培养学生思维的积极性和批判性。
1.什么结构的二项式的乘积结果是只有两项的，这两项与前面二项式的项有何关系？
2.学生自己设计几个两个二项式的乘积，使运算的结果只有两项，并验算其准确性。
二、重视理解公式中字母的含义，培养学生思维的深刻性和整体性
一个公式导出后，学生对公式一般有了初步的认识，有的学生的求知欲也已经得到了满足，但他们往往对公式中字母所表示的含义理解得不够透彻。
因此在教学中，教师要引导学生探寻公式中字母的含义，使学生深刻理解公式中字母的内涵和外延。
三、重视公式的逆用和变形，培养学生思维的发散性和辩证性
美国著名的行为主义心理学家和教育学家斯金纳认为，在学习新知识后要及时地给予强化。为了全面发展学生的综合思维能力，在公式教学中必须加强公式的逆用、变形等各方面的练习，才能达到强化所学知识的目的。
教师要引导学生善于总结练习中公式呈现的不同形态和使用方法，这样才能在数学问题的推演过程中，根据随时出现的结构特征、表示形式、数量关系的信息，及时联想到有关公式及其变形，培养了学生思维的发散性和辩证性。
四、重视公式的整合和活用，培养学生思维的广阔性和深度性
整个解题的关键在于熟悉平方差公式的结构特征，结合已知条件，联想到奇偶性知识，创造了使用平方差的条件，有一定的技巧性和难度，从而培养了学生思维的深度性。
总之，数学公式的教学过程既是探索、推导、运用数学公式的过程，又是培养学生思维，提高学生数学品质的过程。只有让学生真正理解公式，掌握公式的来龙去脉，结构特征，灵活运用公式，才能使学生形成积极、广阔、发散、深刻等宝贵的思维品质。
参考文献：
[1]中华人民共和国制订.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M]北京：北京师范大学出版社，2001
[2]朱哲.数学公式的教学应关注公式的来龙去脉[J]中学数学 ，2011（6）
“数学在本质上研究抽象的东西，数学发展以来的最重要的基本思想也就是抽象”。这说明数学抽象性是数学的本质特征之一。而符号、公式以及必要的形式化的处理等成为数学内容组织呈现的基本方式，也是数学课程内容不同于其他学科课程内容的特点所在，这就决定了数学教育应把发展学生的抽象思维能力作为其目标。七年级绝对值概念是集几何直观、图形符号、字母符号数字符号、和特定符号于一体的数学内容，具有非常典型的抽象性，学习绝对值，可以帮助学生体会用字母表示数的意义，而用字母表示数是一种重要的数学思想，七年级学生对数学中的符号语言刚刚接触，学习时理解很困难。绝对值知识涉及数学学科的分类讨论思想，数形结合的思想，这些对七年级学生都是重点与难点。因此本节内容在初中数学中乃至于今后的数学学习中占有重要的地位。研究这一部分知识的呈现方式、概念的生成、结构的形成，对于教师教育教学方法的运用，教学环节的设计工作起着决定性的作用。
北师大版的教材和人教版教材是全国范围内使用较为广泛的两个版本，将这两个具有代表性的版本进行比较，是希望通过两者理念、经验方面的碰撞，达到相互借鉴、取长补短的目的，为教师教学资源的选择以及教学设计工作提供参考和建议。
一、两版本教材比较
（一）相同点
1.内容安排位置大致相同
《绝对值》是在引入有理数和数轴以及相反数等基本概念后又一探究、学习的重要内容，一方面，数轴的概念、画法、利用数轴比较数的大小及相反数的概念为本节内容奠定了基础；而另一方面，在有理数运算以及后面根式内容中，都是以绝对值的知识为基础的，因此绝对值的知识起着承上启下的作用，是对数的扩充后相关概念的完备与补充为后续的研究提供条件。两个版本均将这部分内容置于绝对值都安排在相反数和加减法之间。
2.两版本教科书呈现“绝对值及其含义”的路径基本一致
北师大版呈现“绝对值及其含义 ”的路径：
生活中的距离问题文字语言描述绝对值定义绝对值的符号语言用文字语言表述绝对值的代数含义。
人教A版呈现“函数及其含义”的路径：
卡通形象的距离问题借助字母描述绝对值定义绝对值的符号语言用文字语言归纳绝对值的代数含义绝对值代数含义的符号语言。
3.情境引入问题的设计理念大致相同
北师大版与人教版都是借助从实际生活情境中行驶问题抽象出的数轴关注点与点的距离这一核心概念。这样的处理体现出这两个版本的编者运用直观手段本身来进行数学研究的理念。
（二）两版本的不同点
1.绝对值的定义表述不同
北师大版中的绝对值定义：“在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值”；人教版中的绝对值定义：“一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值”。北师大版对绝对值定义的表述简洁、直接，而人教版的定义表述借助字母a这一符号化的表示来定义绝对值，定义中有明确的对象，并且是这一字母具有实际的取值范围，便于师生、生生的表达，交流。
2.绝对值的符号化表示的过程、举例不同
北师版中：“＋2的绝对值等于2，记作＋2=2，－3的绝对值等于3，记作－3=3”，直接将绝对值的文字语言转化为符号语言，―正、一负两个数的绝对值，应用绝对值的几何含义求出例题中各数的绝对值，并考虑“一个数的绝对值与这个数有什么关系”，由此归纳出绝对值的分类情况。人教版利用绝对值的定义直接将数a的绝对值符号化，并且继续列举如下：“A、B两点分别表示10和－10，它们与原点的距离都是10个单位长度，所以10和－10的绝对值都是10，即10=10，－10=10。显然0=0”。“数学知识的形成依赖于直观”，[6]运用绝对值的较为直观的几何含义分别求出这三个数的绝对值，在此基础上直接将文字语言符号化，经历了两次抽象的过程，第一次运用绝对值的几何含义得到各数的绝对值并用文字语言表述，第二次将绝对值的文字语言符号化表示出来。这样的过程增加了概念中的直观性与抽象性直接的联系与转化，“就数学而言，直观与抽象不是对立的，它们从来都是它的双翼”，突出了概念的双向性，加深了学生对于绝对值概念的理解和掌握。符合“通过数形结合的方法实现抽象与具体之间的转化”的原则。七年级学生对数学中的符号语言刚刚接触，学习时理解很困难，建议北师版教材设计时，突出概念的几何含义，在学生的深刻理解绝对值的几何含义后，再利用概念的几何含义求数的绝对值。
3.绝对值的代数含义探索及归纳过程不同
北师大以一正一负两个数为例，在此基础上提出思考“互为相反数的两个数的绝对值有什么关系？”，用具有较为一般性的例子，再指向具有特殊性的两个互为相反数的绝对值的代数含义的探究，接着以求两负一正，及0等四个数的绝对值，在经历了一个思考一道例题的探求过程后，提出“一个数的绝对值与这个数有什么关系？”的讨论，归纳出绝对值的代数含义。人教版在经历一对相反数＋10、－10的绝对值的表示及结果后，直接归纳出绝对值的代数含义，此过程没有太多的过程与练习，寥寥数语就得出绝对值的代数含义，整个过程简短，学生对数学知识的掌握也要经历量变到质变的过程，建议教学时解决练习1后再归纳绝对值的代数含义。
4.绝对值的代数含义表述不同
关键词：应用题；数学；理解能力
有的教师会问，数学和语文是两门截然不同的学科，学生解答应用题的能力与他们的语文能力又有什么联系呢？其实不然，学生解答应用题的能力与语文能力关系非常密切，许多学生解答应用题的能力差是因为他们的语文能力差，准确地说是他们对应用题文字叙述的理解力差，通俗地说就是读不懂题。读完应用题学生根本不知道各个数量的确切含义，或者对题目中关键句子的含义把握不准。例如，实际与计划比较应用题。装一批书，每小时装订180本，10小时可完成。实际每小时比计划多装订20本，实际几小时可装订完？有的学生把实际每小时的装订量列为：180×10+20，而不是180+20。究其原因就是对关键的一句话理解不够，“实际每小时比计划多装订20本”是实际每小时比计划每小时多装订20本，而不是实际每小时比计划总的工作量多20本。针对这一现象，我在应用题的教学中注重对学生文字叙述理解力的训练，让学生准确把握整个题目的确切含义，特别注重引导学生分析关键词语或重点句子的意义。例如，食堂有3.36吨煤，计划16天烧完。由于改进技术，每天节约0.03吨，这些煤可烧多少天？引导学生重点理解“每天节约0.03吨”这一句话，让学生重点讨论这句话，理解这句话的确切含义。经过讨论交流，学生明白每天节约不是在3.36吨上的节约，而是在计划每天烧煤数量上的节约。进而得到实际每天的烧煤量“3.36÷16-0.03”。
应用题最难、最复杂的莫过于数量关系的分析，数量关系分析得清晰、准确，列式表示便是自然而然的事情了。不能限制学生的思维，要根据他们自己的思维特点讲出自己对问题的理解。学生列出算式后，我都要求学生把每一步的想法和依据介绍给大家，力争让所有的学生都能听得懂。数学课上，学生思维敏捷，争先恐后，大胆发言，课堂气氛活跃，不仅提高了课堂教学效率，而且进一步培养了学生的语言表达能力，发展了学生的思维，拓展了他们的知识面。
