关键词：勾股定理；定理证明；推广应用
1引言
自我国改革开放以来，国内政治、经济、社会、文化等诸多环境得以完善，从而吸引了大量外国企业、居民进入国内，给中国当代文化氛围、科学技术发展带来了较为深刻的影响。中外文化的交流，在一定程度上给整个世界学术界、实务界的发展提供更加鲜活的血液与动力。（删除）勾股定理作为世界范围内数学界最为伟大的发明之一，其是一个十分伟大的数学定理。迄今为止，勾股定理已经被利用多种方法给予证明，并在较多领域中得以推广。作为一个具有历史厚重感的数学定理，在当前中学教课书中也是仅仅列举了一种证明方法，而对其他方法的证明及其推广应用的介绍十分之少。为此，作者将在本文中针对勾股定理的证明方法进行研究，作者谨此希望能够利用本文的研究丰富当代中学生的视野，使他们能够利用对定理背后历史的探究，更好的掌握数学应用方法，为步入大学校园继续深造奠定坚实的基础，为社会主义现代化建设需求人才素质的提升做出自身贡献（删除）。
2勾股定理的证明方法研究
勾股定理作为一种举世闻名的数学定理，其（删除）现存的证明方法繁复多样，可根据主流的分类方法将其归为三类。在下文当中，作者将对前两种方法分别进行一种证明方法的研究。
第一，面积法。该种证明方法是由毕达哥拉斯所发明的，其当初所使用的面积法证明采用了分解的思路，具体如下图所示：
在两个绘制的图形当中，可以发现，毕达哥拉斯共设计出了八个大小完全相等的直角三角形。并对每个直角三角形的边进行了赋值，其中直角边的赋值分别为a与b、斜边的赋值为c。接下来，在上述八个直角三角形的位置周围绘制出了三个等边正方形。最终就形成了如上两个图形。在做好上述准备工作之后，就可开始对勾股定理进行了证明，其证明思路主要为利用正方形所具有的面积对定理进行证明。可以发现，左图当中将所有小矩形的面积进行相加，就等于整个大正方形的面积。并可得出如下公式：
（a+b）2=a2+b2+4×1/2×ab
在得出上述等式基础上，再将面积相等的方法应用于右图当中，也可以得出另一等式：
（a+b）2=c2+4×1/2×ab=c2+2ab
通过上述两个公式之间的合并，最终可以得到勾股定理的公式：a2+b2=c2
第二，拼接法。拼接法证明与面积法证明之间存在着较大差异。为此，可以先绘制以下图形，以便于利用拼接法进行更为准确的证明：
其通常所采用的方法之一具体由上图列示。该图形主要由四个大小相同的直角三角形所构成。并对每个直角三角形的边进行赋值，赋值方法与面积法基本相同。在此基础上，可利用上述拼接图形进行勾股定理的证明。由上图可以发现，DE=AF=HE=b，且角GDE为90度，也存在有FB=FG=BC=a，且角BCG为90度。因此，上图当中的两个四边形就可以利用已经为直角三角形的赋值进行替代表示。从而又可将上图分解为两个图形，并实现勾股定理的证明。
3勾股定理的推广应用研究
勾股定理不但可以在平面图形当中得以应用，更加可以在三维图形，乃至n维图形当中得以应用，并给解决诸多较为复杂的数学问题提供重要帮助。例如：假设ABC为等边三角形，D是该三角形内部的一点。如果假设角BDC为150度，并假设BD长度为2，CD长度为1。那么，AD的长度应当是多少。在上述旋转三角形边长求解的运算当中，就可以借助勾股定理的方法实现对最终答案的求解。该求解的主要利用图形的旋转将现有三角形ABC等位移动至三角形AEC处，从而构造出了一个新的等边三角形ADC。那么，依据这一思路之后，就可以利用对现有容易求解的方法对ED求解，并利用两者之间相等的思想，实现对目标边AD长度的求解。其中针对EC的求解就可以应用到勾股定理，并构造如下等式：DE=（DC2+CE2）1/2=51/2。进而也就求得了边AD的长度。通过这则案例可以得出结论，勾股定理在平面图形之外的立体多位图形当中可以实现推广与应用。
4结论
通过本文的研究，可以发现，勾股定理作为一个举世闻名的数学定理，其现存的证明方法繁复多样，可根据主流的分类方法将其归为三类：其一为面积法；其次为拼接法；另外一种为定理法。通过对不同方法的探究，作者以案例的方式对其中两种方法的大致证明思路提出了思考，并在此基础上对不同方法的推广应用进行了研究。作者谨此希望，能够利用本文的研究，给数学界勾股定理应用范围及深度的提升带来促进作用，也希望能够在未来求学过程中继续深入思考研究数学理论的相关问题。
【关键词】勾股定理；体验探究；勾股定理的证法；剪切拼图法；风车证法；勾股数组
一、创设思维情境，引出并体验勾股定理
数学教学是师生之间、同学之间交流、互动与共同发展的过程.我们的教学应从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的情境，引导学生通过实践、思考、探究、交流，主动地丰富自己的数学知识和能力。为此，在我的教学过程中将自己所任课的班分成5个研究性学习小组，各组有人负责，并聘请老师参加和指导。
勾股定理是一个古老而有趣的问题，几乎每位同学都知道“勾三股四弦五”这个定理的特例。即若直角三角形两直角边长分别为3和4，斜边长为5，则存在32+42=52这种关系。
在RtABC中，记AB=a，AC=b，AB=c，是否存在a2+b2=c2这种关系呢？为体验这个事实，我们再作些直角三角形，并测量所求结果。
（1）a=5，b=12，c=___.
（2）a=2，b=4，c=___.（精确到0.1）
（3）a=6，c=10，b=___.
（4）b=24，c=25，a=___.
第（1）、（2）题，作直角三角形，测量的结果分别是13，4.5，第三题可先作直径为10的半圆，量出弦BC=6，测得b=8，且∠ACB为直角。第（4）题与第三题类同，测得a=7。
体验是“人们存在的方式”，是人的“素质形成与发展的核心环节”，只有让学生在学习过程中不断体验，才会激起学生无休止的好奇心、探索欲和创造力。经过上述反复体验，得到勾股定理：在RtABC中，若a、b为直角边长，c为斜边长，则：a2+b2=c2。
进而得到勾股定理的逆定理：在ABC中，三边长分别为a、b、c，若a2+b2=c2，则：ABC为直角三角形。
二、探究勾股定理的证明
老师可提前布置各小组同学，去寻找勾股定理的不同证法和广泛应用。在数学课（或研究课）上，各小组可指派代表发言和演示，给出他们研究和探索的结果，经过师生互相交流，大家对勾股定理的证明和应用全面认识和深刻的理解。总结各小组的证法如下：
证法一：将四个全等的直角三角形平铺拼图（如图1）如大正方形的面积与四个直角三角形的面积之和，则有：（a+b）2=c2+4×■aba2+b2=c2
证法二：将四个全等的直角三角形平铺拼图（如图2），则：c2=（a-b）2+4×■aba2+b2=c2
证法三：将并排的两个正方形进行割补（如图3）将剪掉的标有1、2、3的三角形填补，在大正方形的1、2、3处。由面积等式，则：a2+b2=c2
证法四：利用射影定理证明，在RtABC中，由射影定理：
AC2=AD・AB，BC2=DB・AB
AC2+BC2=AD・AB+DB・AB
=AB（AD+DB）
=AB2
下面给出比较著名的两个证法――证法五（如图4）和证法六（如图5）
在图4中，因为分割长直角边上的正方形，使其形如风车，所以这一方法称为“风车证法”。“风车证法”的剪拼步骤如下（如图6）：
作正方形的中心O；
过O做直线垂直AB交正方形的两边与M、N；
过O做直线垂直MN交正方形的另外两边与P、Q；
沿线段MN、PQ剪开即可。
至于为什么MN要垂直AB，我可以从平移变换的角度来考虑。简单的说，那是因为四边形BMOP经平移变为GFAH，OM平行AF；AF垂直AB，也即OM（MN）垂直AB。
在众多剪拼方法和证明方法中，有的人还提出了一些不够直观甚至是错误的方法，对于这些方法也不要轻易放弃，教师要珍重每位同学构思出来的方法。即使做法和结论是错误的，我们也要找出错误的原因，从中吸取经验和受到启发。要通过观察、思考、动手试验等过程引导学生不断探究新的数学内容和数学方法。
三、勾股数组
我们把满足x2+y2=z2的三个正整数x、y、z叫勾股数。（x、y、z）叫做勾股数组。如果（x，y，z）=1，则这样的勾股数组叫做基本勾股数组。例如：（3，4，5），（5，12，13），（12，35，37）等都是基本勾股数组，而（6，8，10）不是基本勾股数组.容易看出，若（x，y，z）是一个基本勾股数组，则（kx、ky，kz）都是勾股数组。
我们把边长为勾股数的三角形叫做勾股三角形。这里我们又得到另一个应用。
定理：勾股三角形的内切圆的半径一定是整数.
证明：设RtABC的内切圆半径为r，则r=■
由于勾股数a、b、c不能同时为奇数，所以a+b-c为偶数，从而r为整数。
许多数学问题规律性很强，我们总希望用一些定理或公式找到更多的基本勾股数组，这里将我们师生探究勾股数得到的结论给出来。设Rt的直角边长为x，y，斜边长为z，且n，s，t都是正整数，则勾股数组有两类：
x=2n+1y=2n2+2nz=2n+2n+1或 x=2sty=s2-t2z=s2+t2
列表如下：
从表中我们发现，第一类勾股数满足（x，y，z）=1，都是基本的，但不是全部的.第二类勾股数组不是基本的，但它对第一类给以补充。我们还发现许多有趣的结论，如：x，y，z不可能都是奇数，它们中可以有一个偶数或全部是偶数。再如：（x，y，z）是基本勾股数组，则x，y中必有一个能被3整除，等等。
在勾股定理的学习过程中，给我们带来的启示很多，首先是这个古老问题有探究不尽的课题。它的不同证法，广泛的应用以及勾股数的趣味性给我们拓宽了眼界，打通了思路，不仅是对知识的传承，更多的是激发了我们师生对数学产生了浓厚的兴趣，获得更多更好的数学知识和数学方法，提高了空间想象能力和创造性思维。
【参考文献】
1.应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。
2.灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。
3.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
二、重点、难点
1.重点：利用勾股定理及逆定理解综合题。
2.难点：利用勾股定理及逆定理解综合题。
三、例题的意图分析
例1(补充)利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状。
例2(补充)使学生掌握研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题。本题辅助线作平行线间距离无法求解。创造3、4、5勾股数，利用勾股定理的逆定理证明DE就是平行线间距离。
例3(补充)勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。
四、课堂引入
勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。
五、例习题分析
例1(补充)已知：在ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。
试判断ABC的形状。
一、新、老课程“勾股定理”的比较
1.课程内容的变化
新课程相对于老教材增加了“蚂蚁怎样走最近”这一节，并在教材中增加勾股定理的历史的相关素材，书中提供了较为丰富的历史或现实的例子来展示勾股定理的应用。
2.教学要求的变化
老教材对勾股定理的教学要求是：（1）使学生掌握勾股定理及其逆定理；（2）能够熟练地运用勾股定理，由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长，会用勾股定理判断一个三角形是不是直角三角形。
新课程下的勾股定理教学要求是：（1）经历探索勾股定理及一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会数形结合的思想；（2）掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题；（3）掌握判断一个三角形是直角三角形的条件，并能运用它解决一些实际问题；（4）通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值。
由上可知，新课程下的勾股定理在已知直角三角形两边求第三边中，给出的两边数据相对于老教材简单得多，删去了烦琐的计算过程，勾股定理逆定理的理论证明，利用勾股定理的逆定理解题的数据均不会过大，通过古埃及的结绳来说明，省去了烦琐的证明过程。新课程中加强了勾股定理的实际运用，利用勾股定理及逆定理解决实际问题成了重点，例如：“蚂蚁怎样走最近”这一节突出了勾股定理及逆定理的实用性。书中提供了较为丰富的历史或现实的例子，来展示它们的应用，体现它们的文化价值，并且在知识发生过程中，作了较高要求。
3.课程关注点的变化
老课程比较关注运用勾股定理及逆定理的相关运算，即已知直角三角形两边长求第三边和判定一个三角形是否是直角三角形。新课程则强调了勾股定理在现实生活中起着重要作用，是数形结合的典范。
二、教学中应注意的问题及建议
1.重视实际情景
新课程创设实际情景，让学生感受到现实生活中勾股定理的应用，从实际情景抽象出勾股定理。因此，建议为学生创设丰富的实际情景，使学生经历知识发生的过程。在证明勾股定理逆定理中，可将一根绳子打上13个结，将绳子分成12等分，让三位同学上讲台，一位同学握住第1和第13个结，一位握住第4个结，一位握第8个结，创设此情景，让学生自己思考、分析，从而判断此三角形为直角三角形，最后归纳出勾股定理逆定理。
2.重视数形结合
新教材里，勾股定理的探索和验证过程中，数形结合有较多体现，渗透了代数运算与几何图形之间的关系。因此，建议在教学中应注意渗透这种思想，鼓励学生从代数表示联想到有关的几何图形，由几何图形联想到有关的代数表示，有助于学生认识数学的内在联系。例如：在探索勾股定理过程中，应引导学生由正方形的面积想到a2、b2、c2，而在勾股定理的验证过程中，教师又应引导学生由数a2、b2、c2想到正方形的面积。
3.重视实际应用
对于勾股定理，新教材不仅要求能从实际情景中抽象出勾股定理，而且要能将它用于实际问题中，从而体现出数学的应用价值。因此，建议在教学中充分利用教科书中的素材让学生体会这种应用，如古埃及人利用结绳的方法做出直角，利用勾股定理求出蚂蚁的最短路线等。
4.重视学生经历探索勾股定理的过程
新教材中安排了探索勾股定理、验证勾股定理、探索直角三角形的条件等活动。因此，建议在教学中不要直接给出结论，要鼓励学生，通过观察、实践、推理、交流等获得结论，发展空间观念和推理能力。例如教科书设计了在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，教师应引导学生通过由特殊到一般的探索得到结论。
5.重视自主探究与合作交流
新教材自始至终为学生提供自主探索、合作交流、积极思考的空间和机会，课堂上引导学生主动参与探究或学习，激发学生学习数学的兴趣，调动学生的积极思维，督促每个学生都在这个过程中积极参与，从而培养探索与创新的精神。
6.重视爱国主义的渗透
【关 键 词】 遵循“本心”;顺应规律;尚德理念;
【作者简介】 陈洁，江苏省苏州市相城实验中学，中学一级，研究方向：尚德数学教学与数学运用理论。
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2015） 07-0070-04
《数学课程标准》强调：“要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和运用的过程，从而使学生在理解数学的同时在思维能力、情感态度和价值观等方面得到进步和发展。” 江苏省苏州市相城实验中学（简称我校，下文同）“尚德课堂”的核心理念是“遵循本心，顺乎自然”，即顺应师生的发展“本心”、顺应知识建构的基本规律、顺应学生个性发展的独特路径去设计数学课堂。基于这样的理念和要求，笔者在设计《勾股定理的应用》这节课时，力求遵循“本心”自主探究，渐渐达成勾股定理知识与经验的巩固与深化。教学设计从学生的认知规律出发，由简单到复杂，层层深入，较好地实现了在“尚德课堂”中要深化、升华的教学目标。
一、顺应师生“本心”，首先是顺应学情基础
“勾股定理”是我国古代数学上的一项伟大数学规律的发现。相传是由商代的商高发现，故又称为“商高定理”。三国时期，蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中，对勾股定理作出了详细的注释。可以说，“勾股定理”解决了直角三角形三边间的数量关系，是重要的几何定理，也是学生后续学习几何的重要基础。课程标准对“勾股定理”内容的教学要求是：（1）能应用“勾股定理”解决一些简单的实际问题;（2）学会选择适当的数学模型解决实际问题。在教学“勾股定理的应用”之前，学生已经准确地理解了勾股定理，并能运用它们解决一些较为简单的数学问题。比如掌握了直角三角形中，已知任意两边可以求出第三边;利用勾股定理可以建立方程求未知边等一些基本运用方法。所以，教学时笔者就从基础知识巩固开始――
师：我们已经学习了勾股定理，知道了勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，请同学说一下。
生：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
但是，从发展的“本心”看，学生“勾股定理的应用”的眼界没得以拓宽;相关复杂条件下的探究能力还没有形成;分类讨论思想，特别是抽象思维训练还有待加强。因此，笔者着手建构“勾股定理的应用”的教学方案。
“尚德理念”强调顺应师生的发展“本心”、顺应知识建构的基本规律。在建构时，本着顺应学生的发展“本心”出发，尽量让问题解决生活化、情境化，让学生由浅入深，渐进深入地学习勾股定理的复杂应用。为什么在数学问题解决过程中强调生活化、情境化？尚德课堂主张建设意味深长、意趣盎然的趣味课堂。课堂生活中有了深度兴趣，学生才能阳光乐观、踏实坚定，才能获得主动活泼的发展。在学生回顾了勾股定理的基本原理后，笔者先设计了“勾股定理的应用”的“一般应用”，以积累学生问题解决的经验。
师：有两棵树，一棵高10m，一棵高4m，相距8m，一小鸟要从一棵树梢A飞到另一棵树梢C，至少飞行多少米？这个问题可以转化为怎样的数学问题？
生：两点之间线段最短。
师：树可以看成线段，树和地面是垂直的，小鸟的飞行距离最短就转化成“两点之间线段最短”。现在的问题就转化为什么呢？怎么求AC？
生：过C作CD垂直于AB，构造直角三角形。
师：我们看升旗的问题。下垂时，绳子刚好接触地面，求旗杆高度的问题。把升旗的绳子拉开时什么是不变的？
生：绳子的长度不变。
师：如何转化成数学问题呢？
生：标上字母，顶点为A， 2米处为D，构造直角三角形。设旗杆高度为x米，则AD=（x-2）米。
师：很好。当我们求未知线段长度时可以设为实数x，然后利用勾股定理建立方程，解决问题。
师：第三个游泳问题， BC=200米， AC=520米，求河宽即AB的长。
生：可以构造直角三角形。（如图）
师：有没有同学可以在5秒以内得出答案。还要注意计算技巧。
生：520和200的比值是13比5，所以另一条是12，回过去就是480。
师：正好借此就会复习常用的勾股数
生：3，4，5;5，12，13，;6，8，10;7，24，25;9，40，41;8，15，17。
师：我们利用这些勾股数或者比值能够又快又准的算出边的长度。简单地小结一下刚刚几个简单的例子，如果没有直角三角形，我们就要构造直角三角形;如果数据不充分时，可以设未知数建立方程来解决问题。
第一题是为了让学生了解勾股定理的应用中常用的方法：构造直角三角形，同学们几乎都会回答，一开始的引导也比较到位，“树木和数学里的什么概念可以联系起来”，“最短距离就是数学中的什么概念？”等等，一下就把学生带到了数学几何的宫殿里，学生们很踊跃地回答这些问题。第二题意在继续深入理解掌握“构造直角三角形”，还有就是会用方程的思想来解决问题，学生们也能很顺利地利用并解决问题。这两项也正是我们学习勾股定理应用的教学主要目的。游泳问题，蕴含了很重要的计算技巧，在合理的引导下，学生掌握了用比值、勾股数的方法来求出未知边的长度。学生觉得非常新奇，而且印象深刻，从他们惊讶的表情和轻声的感叹中完全能感受到了！
顺应师生“本心”，首先是顺应学情基础。教学时，笔者从简单的两棵树间小鸟飞行的最短路程等问题开始，引导学生将单调的勾股定理原理，转化为生活中的实际问题，即贴近学生生活的旗杆高度、游泳等问题情境，使学生意识到数学问题来源于生活又应用于生活。完成了这三个例题以后，笔者对学生说：“如果没有直角三角形，我们就要构造直角三角形;如果数据不充分时，可以设未知数建立方程来解决问题。”这样，通过勾股定理的一般应用，学生渐渐明白利用勾股定理等数学知识可以解决生活中的实际问题，在巩固“常用的勾股数”的同时，学生越发对勾股定理运用和勾股定理文化产生自信与崇敬。
从“尚德理念”出发设计课堂教学环节，立足于学生的认知基础来选择身边的生活素材，让教学内容充满趣味性和吸引力。这样，更容易引导学生研究勾股定理的应用问题。
二、顺应习得规律，有序开展应用探究
在尚德教育体系中，数学并不是形式严格、思想固化的知识体系。数学学习可以让人的思想得以自由飞扬，但前提是数学学习要顺应知识习得规律，在基于生活问题解决过程中，要有序地开展应用探究，这样，数学学习才是闪烁着自由思想的思维过程。
当学生有了勾股定理的一般应用的初步积累以后，笔者推出了下面这个内容――
师：我们看4题，壁虎要从B处爬台阶，到A处吃食物，这只壁虎请怎样做，才是聪明的呢？请你上黑板画出聪明壁虎的路线图。
生：（作图如下）。
笔者将这个台阶展开来，变成一个长方形。
师：这种思路很好。这就是数学上的转化思想。如何解决问题？
生：AB2=202+（9+6）2，AB=25。
师：转化是重要的数学处理问题的方式。我们来看第5个问题（如图），长方体的长、宽、高分别为3、4、5，则图中在表面上A到B的最短距离为______。
师：吕云天，你想到了几种爬法？
生：2种。
（师：请上黑板画出来。
（吕云天上黑板画图）
师：还有可以补充的吗？
师：刘诗睿请上黑板进行补画。
（刘诗睿上黑板画图）
师：计算三种不同情况的不同结果，并分为三种情况进行比较。
①如图1，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，
∠ACB=90°，AC=3+4=7，BC=5，
在RtACB中，由勾股定理得：AB2=74
②如图2，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，
∠ACB=90°，AC=3，BC=5+4=9，
在RtACB中，由勾股定理得：AB2=90
③如图3，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，
∠ACB=90°，AC=5+3=8，BC=4，
在RtACB中，由勾股定理得：AB2=80
通过比较发现， A到B的最短距离是 74。
师：我们看第6题，细线绕长方体问题。你能提出问题解决的方案么？请同学上黑板画图并解决问题。
（郁思杰上黑板完成。 AA’=8，A’B’=6）
师：邹正熙来解释一下同学这样画图的意思。
生：把四个面全部展开，标上长和宽，连起来构成直角三角形。根据两点之间线段最短，AB’= 82 +62 =10 。
师：看第7题。一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处。
（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;
（2）当AB=4， BC=4， CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长。先看第一小题。
生：前右或者前上（学生作画，如下）
师：如果每个面都是正方形，它爬的路程怎样？
生：一样的。
师：但第2小题里说是长方体，情况怎样？
生：不一样。
师：利用勾股定理计算一下AC和AC’， 利用勾股定 AC=89 ，AC’=97，AC< AC’，所以从前面的面爬到右面到C比较近。
为什么要这样设计？因为“尚德课堂”强调顺应师生的发展“本心”、顺应知识建构的基本规律、顺应学生个性发展的独特性去设计数学课堂。探究勾股定理应用时，例题难度只有层层深入，才能引导孩子们“跳一跳摘苹果”。 例7中蚂蚁爬靠墙柜子的问题中，在笔者的正确引导下，学生的思维进入正轨，没有胡乱思考，考虑得非常全面。这个例子在讨论环节出现了一些争论，大部分学生能想出2种情况，也有同学说是4种情况。笔者便把同学的典型思考及作画的情况用实物投影展示出来，因为有的同学所认为的不同，其实有可能是相同的情况，只是观察思考的角度不同而已。这样，我们讨论后，归纳出有3种不同情况。这样，更符合尚德课堂的“合乎本心”的理念。
这样设计是基于学生“本心”发展的态势的。在图形转化环节，从一开始的圆柱展开、壁虎爬台阶，然后细线绕长方体一圈，让学生自主探究如何将立体图形转化为平面图形，只是展开后的情形是不同的。而从例5开始，渐渐增加问题解决的难度，让学生意识到问题解决可能要分几种情况来思考。所以，例7在例6的基础上又增加了更多的思考角度，以达到逐渐深化课堂教学的目的。如果不遵循认知的本心，不符合学生认知深入的规律就很难实现从简到难，循序渐进，从而走进尚德课堂教学境界。这节课，在学生研究每个题目时，笔者只是起到穿针引线的作用，主要让学生自己思考研究，自己画图并解决问题。这样，每个学生都成为“尚德课堂”的参与者，他们自由讨论，自由交流，自主建构着开放式的勾股定理应用模型。
尚德课堂崇尚“遵行本心，顺乎自然”的理念。在教学时，笔者也预设了可能出现的问题，以让学生自己产生错误、自己发现、自己讨论、自己改正，这样会使课堂气氛宽容、民主、和谐，学生也是极其快乐。由于教师不加限制，学生的思维可以无限的展开，从而主动建构自己的运用模型，增强了学生运用勾股定理的自信心。
由于所教班级中女生较多，而大部分女生的抽象思维处于亟待激发与拓展时期。讨论第7题目时，其中有一个女生上来修改了3次，但笔者还是给予了肯定和鼓励。因为学生需要老师的肯定，这样他们才会越来越有自信！我们的核心理念“顺其自然，合乎本心”，这与数学课程的设计理念，教学方式真是不谋而合！学生在探究过程中，为什么会出现这种问题？如果在课前准备好一个长方体模型，在课堂上适时展开，这样学生会比较直观的看到长方体展开的情况，可能更符合学生的认知情况，也更符合尚德课堂的“合乎本心”的要求。
基于“尚德理念”的“勾股定理的应用”教学，既复习了勾股定理原理及常用的勾股数，又通过运用提高了学生解决现实问题的能力，这对于如何培养学生的解题速度和能力是非常有意义的。只要教师“遵循本心，顺乎自然”，加强正确引导，既不满堂灌，也不过于放手，学生的思维才能如一列火车一样在方向正确的轨道上行驶。
参考文献：
[1] 季国栋.关于“数学规定”的理性思考与实践[J].课程・教材・教法，2014，（5）..
[2] 翁永兴.尚德理念：传统精神与现代追求的交融――关于苏州相城区实验中学“尚德”内涵的理解[J].江苏教育研究，2014，（8A）.
（一）创设情景
1 动手操作：提议以小组为单位进行一场按要求在方格本上画三角形比赛，要求组内每一位成员完成才算，完成最快的小组为胜。
2 动手测量：每一小组尽量准确地作出相应的一个直角三角形，两直角边长分别为：
第一小组：3和4；第二小组：6和8；第三小组：5和12；第四小组：9和12，并且测量斜边的长度，结果保留整数。
3 议一议：①（显然第一小组获胜）另外几组学生有意见，认为比赛不公平，自己的尺不够长等。教师乘此机会说明设计这个游戏的意图，并把课题引到本节课要学的内容上（同时板书标题探索勾股定理（1））
②讨论测量结果并填写表格
③观察表中后两列的数据，你能发现直角三角形三边长之间的关系吗？
（二）探索新知
1 在充分交流的基础上，得出结论。老师板书：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果a，b为直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，则a2+b2=c2。
说明勾股定理的由来：我国早在三千多年前就知道直角三角形的这个性质了。古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦，因此这一性质也称为勾股定理。而最小的三边都为整数的直角三角形的三边长为3，4，5，因此有勾三，股四，弦五之说。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，但我国古人比毕达哥拉斯发现得早……。
2 探索勾股定理的正确性……。
这节课为了突出勾股定理的发现过程，教师设计了“画一画”“量一量”“算一算”“归纳与概括”等教学环节。先是让学生画出很多形状、大小各不相同的直角三角形，然后让学生分别量出所画直角三角形的三边长，并将测量结果填到事先设计好的表格之中，接下来再要学生计算表中各数据的平方，最后启发学生在表中发现规律，得出勾股定理。勾股定理真是这样发现的吗？“勾股定理”是几何中一个很重要的定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把形的特征一三角形中一个角是直角，转化成数量关系一三边之间满足两条直角边的平方和等于斜边的平方，利用它可以解决直角三角形的许多计算问题，是解决直角三角形的主要根据之一，在理论上占有很重要的地位，在实际中有很大的用途。本课难点是引导学生自己动手得出勾股定理的证明，组织学生自己动脑动手解决问题，通过实践、猜想、拼图、证明等操作使学生深刻感受数学知识的发生发展过程。但从活动过程来看，学生做了些什么呢？从表面上看，这种教学方式也注重让学生独立思考，发现规律，获取知识。但仔细分析，在整个学习过程中，学生只是执行教师命令的操作员，就好象一台台电脑，教师编好程序，点击鼠标，他们就开始工作。这样的教学如果从掌握知识的角度来说，的确省时、高效，可是从“发展学生自主获取知识的能力”的角度进行分析，可以发现，留给学生自主探究的空间过于狭窄。在学习的过程中，学生的思维活动连一点“旁逸斜出”的机会都没有，创新精神的培养更是无从谈起。因此这样的教学是残缺的，令人遗憾的，忽视活动中的思维含量，一味的强调感知与操作，势必使感知与操作变成机械的体力劳动。除了简单、机械的重复劳动外，恐怕就再也没有什么了。固然，操作、感知是人们认识某些数学对象、获得某些数学结论所需要经历的过程，但是，忽视活动中的思维含量，一味的强调感知与操作，势必使感知与操作变成机械的体力劳动。
勾股定理的内容
搞清楚勾股定理的内容是有效实施教学的前提，具体的可以从代数和几何两个角度进行叙述.
1. 代数角度的叙述
文字表征：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
符号表征：a2+b2=c2(a，b和c分别表示两直角边和斜边).
2. 几何角度的叙述
文字表征：一个直角三角形，以两直角边为边的两个正方形的面积之和等于以斜边为边的正方形的面积.
图像表征：如图1所示.
勾股定理的教育价值
一个知识的教育价值是多方面的，对于勾股定理这个内容，其教育价值和学科价值有如下几个方面：
1. 文化价值
从数学史上看，人们发现勾股定理、验证勾股定理及应用勾股定理的过程蕴涵着丰富的文化价值，我们在教学过程中注重这些数学史、研究过程，有助于激发学生的数学学习兴趣，在学习过程中体悟其存在的意义和实际价值.
2. 学科价值
从勾股定理的内容来看，其同时具有代数和几何的双重特征，是初中数学阶段几何与代数之间问题研究的一个重要桥梁，从勾股定理的证明方法来看，“演绎法”“变换法”和“代数法”三种方法教给学生，尤其是学生通过学习变换法(拼图法)，能够帮助他们感受和理解运动与变换.
知识的教育价值不仅仅表现在概念和规律本身，在教学中还应该渗透知识探究和被发现的过程. 勾股定理的发现、验证整个过程均蕴含着丰富的、可渗透的思维素材，和学生一起探索和证明勾股定理，能够丰富学生的学习经验，感悟数学学习和不断探索未知的价值：
(1)学生在探索过程中，探究图形基本元素之间的关系、几何结构，而这一过程必然涉及空间推理和演算，从中学生能够感悟到数形结合的思想方法，同时体会推理和证明的力量.
(2)学生通过勾股定理的探索和证明，会自然而然地形成一种意识，那就是要了解我们生存的空间，必须要学习更多的数学工具，并合理地应用.
勾股定理知识系统内结构分析
数学知识具有较强的系统性和完整性，置于知识系统中，勾股定理与其他知识有着怎样的联系，学生在学习进程中又有怎样的连贯性呢?
1. 知识间的横向联系
《勾股定理》在初中阶段与其他数学知识内容密切联系，如无理数、三角函数、方程、四边形、圆等知识.
2. 知识间的纵向联系
从学生的学习进程来看，初中之前，学生在小学阶段对三角形的三边关系有了一个初步的了解：两边之和大于第三边;步入初中，学习勾股定理内容前，学生通过探索也对直角三角形的性质有了一定的了解：“斜边上的中线等于斜边的一半，30°角所对直角边是斜边的一半. ”
那么，勾股定理在这里又有怎样的作用呢?学习了这一内容后，学生可以进一步从边的角度来定量地刻画直角三角形的特征，由此进一步深化学生对直角三角形的认知.
学生从初中步入高中阶段后呢?勾股定理有没有其价值呢?学生在高中将要继续学习任意三角形中边长与角度之间的数量关系，在学习和理解正弦定理和余弦定理时，需要用到勾股定理，可以将勾股定理视作为余弦定理的一种特殊情况.
整个学习过程对直角三角形边角的关系，是从定性到定量，从一般到特殊再到一般的思维进程.
帮助学生学会勾股定理的教学策略
如何帮助学生学会勾股定理呢?
1. “探索猜想证明”法
笔者发现当前有部分教师在和学生探究勾股定理时采用的方法是：首先让学生测量直角三角形三条边的长，接着要求学生猜想三条边长之间存在怎样的数量关系，在学生猜想出三边之间的平方关系后，再证明勾股定理.
这样的方式有怎样的缺点呢?
笔者曾经也尝试过这种方式，看似逻辑性很好，但是关键在于学生不容易猜想出三边之间的平方关系，猜想卡壳了，后面的证明就出不来了. 为什么会出现这样的困难呢?原因有二：一是学生在测量时本身就有误差;二是从思维角度来看，学生的确很难想到平方关系.
2. 利用方格纸进行探究
提供如图2、图3所示的方格纸.
首先，让学生计算直角三角形三边的平方分别是多少，只要能计算出三边的平方，直角三角形三边之间的平方关系就很容易猜想出来.
这个时候学生会遇到怎样的困难呢?
因为直角三角形边长的平方实际上就是每边上的正方形的面积. 其中正方形1和正方形2的面积可以通过数方格的方法直接数出来，而斜边上正方形(正方形3)的面积的计算则有一定的困难.
新的问题又出现了，怎么办呢?方法又有两个.
(1)“割”，如图4、图5所示.
(2)“补”，如图6、图7所示.
上述在方格纸上运用内割法或外补法求斜边上正方形面积的活动蕴含了勾股定理的证明思路，由图5可得c2=(a-b)2+4ab，由图7可得(a+b)2=c2+4ab，化简之后就得到a2+b2=c2. 因此，利用方格纸探究可以帮助学生较顺利地猜想出直角三角形三边的关系，同时水到渠成地获得定理的证明，使勾股定理的学习一气呵成.
关键词：数学教学；《探索勾股定理》；拓展性课程
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）02-0087
众所周知，勾股定理的内容非常丰富，但现行的教材（以浙教版为例）只安排两个课时，教学受课时的限制，不能充分利用勾股定理发展学生的问题解决、人文积淀、理性思维等核心素养。本文以开发《探索勾股定理》的拓展性课程为例，展示以学校教研组为团队如何依托数学课本开发拓展性课程，以期抛砖引玉。中国学生发展六大核心素养中有十八个基本要点，其中三个是问题解决、人文积淀、理性思维，《数学课程标准》的前言中也有类似的表述。对应三个基本要点确定三个课时的拓展性课程，在上完基础性课程的两个课时后进行。因篇幅所限，只展示每个课时的教学目标、学习内容及要求、课外作业。
第一课时：勾股定理在生活中的应用
设置缘由：数学课最缺的是实践课，学生非常喜欢实践课，开发团队成员一致同意每学期开发一节实践课。
教学目标：引导学生观察生活，体验生活中的数学，体验用数学模型刻画现实世界。
活动内容及要求：（1）带学生参观有人字梁结构的农村老宅，请当地手艺比较好的手艺人，一个木匠，一个泥水匠当讲解员。（2）泥水匠展示方地基的方法。造房子时要先奠基，在一百多平方米的地上要设置很多个直角，选好位置打下木桩，固定好线，沿线做墙脚。怎样使墙角正好是直角呢？先沿房子的朝向打下两个木桩，两个木桩之间的距离为三尺，调整第三个木桩的位置，使它与前两个木桩的距离分别为四尺与五尺。拉上线，再微调。泥水匠师傅说，这种方地基的方法是师傅们口耳相传的好方法，若是正式造房子开工方地基的日子，仪式很隆重。（3）木匠师傅主要举了两个例子。一个例子是如何预算建造斜屋顶结构的房子用到的木料，特别是人字梁结构中斜线部分的木料长度的计算方法。第二个例子是如何在大块的板材中确定直角。（4）教师作为主持人、主持师傅与学生的互动，让学生尝试用数学模型解释实际应用问题。
课外作业：找一个生活中实际用到勾股定理的例子，写心得体会交流。
第二课时：勾股定理的历史文化
收集方法：这部分内容多而杂。动员团队所有成员参与，从网上和书本中搜集并整理。
教学目标：在对勾股定理历史了解的过程中，感受数学文化，感受历代世界人民的智慧和探索精神，感受数学知识源远流长和数学价值的伟大。
学习内容及要求：
（1）勾股定理的发现：公元前1100多年的《周髀算经》中，就有勾股定理的记载，相传是商代商高发现的。三国时的赵爽给出了证明，2002年北京国际数学大会的徽标就是赵爽证明勾股定理用的弦图。勾股定理被西方人称为毕达哥拉斯定理，是古希腊数学家毕达哥拉斯于公元前550年发现的。相传毕达哥拉斯花了很多的精力才证明了这个定理，他很高兴，于是宰了百头牛庆贺一番，不过毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。这个定理有流传很广，印度、希腊、巴比伦、中国、埃及等文明古国对此定理都有所研究。要求学生课前和课后整理出赵爽和毕达哥拉斯的相关成果，了解《周髀算经》等中国古代经典数学著作。
（2）勾股定理巨大辐射能力：①勾股定理是数与形结合的典范，启发后人对函数的研究；②毕达哥拉斯学派的希帕索斯利用勾股定理导发现了根号2，引发了第一次数学危机，数从有理数扩展到实数；③勾股定理使数学在追求逻辑体系和数学美的过程中发展了现代数学；④勾股定理中的公式是一个最早的不定方程，引发了包括著名的费马大定理。⑤勾股树的拓展，勾股树中的正方形可以变换为正三角形、半圆、月亮形等许多图形。要求学生例举数形结合的例子；能描述三次数学危机；能举例一些现代数学；了解费马大定理的内容及费马的成就。
（3）勾股定理的证明方法多样化。由于勾股定理的证明起点很低，所以千百年来下至业余数学爱好者、普通的老百姓，上至著名的数学家、国家总统都参与了勾股定理的证明。勾股定理有四百多种证明方法，目前还找不到一个定理的证明方法之多能超过勾股定理。
“总统”证法的故事：1876年一天的傍晚，美国的议员伽菲尔德由于受到了两个小孩的追问，开始对勾股定理证明进行思考……后来他在继承的基础上反复思考终于找到了独特的证法。1876年，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他的证法。由于在1881年伽菲尔德就任美国第二十任总统，人们就把这一证法称为“总统”证法。要求学生课前和课后搜集有趣的勾股定理证明故事并交流。
第三课时：勾股定理的证明方法
证明方法选择的标准：证法有四百多种，但不能穷尽，要选择重要的、典型的、适合初中学生的证法。
教学目标：在勾股定理的探索过程中培养学生的理性思维和创新能力，体会深层次的数形结合；发展形象思维，体验解决问题方法的多样性，培养探索精神。
学习内容及要求：
（1）赵爽证法。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期的数学家赵爽。如图1，就是赵爽创造的弦图。以a、b（b>a）为直角边，c为斜边作四个全等的直角三角形拼成所示形状，4×（1/2）ab+（b-a）2=c2，a2+b2=c2这是课本上的证法，不必细讲。应让学生认识到本题的证法并非严密的演绎推理，如图形中的内外两个正方形就没有证明。
（2）邹元治证法。如图2，也是用面积法，证明方法略。
（3）总统证法。如图 3， 这个证明方法是赵爽证明方法的变形，也是用面积法，证明方法略。
（4）欧几里德证法。如图4，以a、b、c分别为直角边斜边RtABC，再分别以a、b、c为边，在直角三角形外部作正方形ABED、CBKG、ACHF，连结BF、CD，过C作CLDE，交AB于点M，交DE于点L.AF=AC，∠FAB=∠CAD，AB=AD，FAB≌CAD.SFAB=（1/2）a2，而SCAD等=（1/2）S矩形ADLM，S矩形ADLM=a2。同理可证，S矩形MLEB=b2.S正方形ADEB=S矩形ADLM+S矩形MLEB，c2=a2+b2，即a2+b2=c2。应让学生认识到本题的证法是典型演绎推理，是欧氏几何，后面两种证法也是如此。
（5）相似三角形性质证法。如图5，RtABC中，a、b、c分别为直角边斜边，过点C作CD AB，垂足为D.可证得CAD∽BAC， AD/AC=AC/AB，AC2=AD× AB.同理BC2=BD× AB，AC2 +BC2=AB（AD+ BD）= AB2，即a2+b2=c2。
（6）切割定理证法。如图6，RtABC中，a、b、c分别为直角边斜边，以B为圆心、a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD=BE=BC=a，因为∠BCA=90°，点C在B上，所以AC是B的切线。由切割线定理得AC2=AD×AE=（AB-BD）（AB+ BE） =（c-a）（c+a）=c2-a2， 即b2=c2-a2，所以a2+b2=c2。
（7）证法评析。中国证法的独到之处是善用面积法，巧妙地避开了角的性质及平行线性质的繁琐理论，简洁明了，吴文俊、张景中等发展的数学机械化方法深受中国古代数学思想的影响。后三个证法追求严谨的逻辑体系，对提升人们的理性精神，注重演绎推理的科学精神具有不可替代的地位。
【关键词】初中数学；勾股定理教学；创新策略
为了让初中数学课堂丰富化和多样化，教师应该多应用现代化技术来营造愉悦轻松的课堂氛围。传统的教学方式，教师充当了权威的身份，学生大部分的课堂时间是被动的接受教师说讲授的学习内容，处于被动学习状况，不仅学习效率不高，一旦遇到难懂的、难理解的知识，往往没有充足的时间进行分析和揣摩，导致学生学习效率越来越低，甚至对学生将来学习数学造成了阻碍。针对此，在新课改的大背景下，教师应该将促进学生自主学习和自主探究，培养学生的创新能力作为教学目标，根据学生的学习需求，立足于学生的实际情况，充分利用现代化技术，为学生营造轻松的、高效的数学课堂，促进学生学习和发展。
1在切入勾股定理过程中，充分发挥多媒体作用
为了提高课堂教学质量，初中数学教师在课堂开始之前就要能够找好教学的切入点，在课堂活动一开始就抓住学生的注意力，让学生对教学内容产生求知欲，并能够清晰的认识到教学内容。由于初中生正处于心理快速发展的时期，对多媒体存在较大的好奇心，教师利用多媒体来引入知识点，可以让学生不自觉进入到角色中进行学习，进而充分参与到教学活动中进行数学问题的探究和学习[1]。例如：教师可以在课堂开始之前播放两段视频，第一个视频是：小红拿着一根2.2m的竹竿上火车，但是按照中国铁路乘坐法规规定，乘客在乘坐火车时，所携带的物品不能超过两米，但是乘警发现夏红拿着超过标准长度的竹竿上火车却视而不见，这是为什么？这种利用视频引导学生的方式，可以激发学生对接下来的学习产生热情，进而认真学习接下来的知识。
2为了将勾股定理具体化，注重突出多媒体功能
当今对学生的优劣程度都是根据考试成绩来进行判断，但是在初中时间教学中可以发现，学生的学习过程往往比学习结果更重要，教师应该让学生充分参与到教学活动中，所谓授之以鱼不如授之以渔，教师应该帮助学生掌握教学方法，引导学生通过自主学习来进行自我完善和自我进步[2]。勾股定理知识具有较强的灵活性，勾股定理知识可以与其他数学知识点进行有机结合，成为一种综合性问题，因此，初中数学教师应该让学生学会勾股定理并熟练运用勾股定理来进行综合数学问题的解决。为了帮助学生突破勾股定理知识点的束缚，教师应该将勾股定理形象化和具象化。例如：初中数学教师可以利用多媒体技术将数学计算公式和图像、声音结合起来，首先设置数学问题：已知AB=4，BC=12，CO=13，DA=3，ABAD，请证明BCBD。传统的教学方式，教师都是通过黑板来进行逐步推演，但是，为了创新教学策略，教师可以将推演过程做成幻灯片的形式，在步骤推演中插入适当的音效，强化学生的记忆。
3鼓励倡导学生进行猜想，点燃学生的创新火花
伟大的数学家宜里士多德认为：疑问和近期是思维的开始，因为疑问是学生思考和产生认知的冲动，只有在学生产生疑问后，才能进行自主学习和探究，因此，在进行教学的过程中，教师应该通过提出问题，引导学生分析问题和解决问题，让学生在整个过程中进行思考，从而发展学生的创新意识和实践能力[3]。例如：在进行勾股定理的逆定理学习过程中，首先让学生进行勾股定理的回顾：加入直角三角形两直角边的长为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2，由此，教师可以提出问题：加入一个三角形的三边长为a、b、c，三条边满足条件a2+b2=c2，请问这个三角形的形状怎么样？大部分学生都猜测是直角三角形。为了让学生强化勾股定理的理解，教师可以让学生以小组的形式进行分析验证。很多学生提出想法：画一个三边长为3、4、5的三角形，显然32+42=52，且画出来后也是直角三角形。基于此，教师可以继续进行提问引导：这种想法是不是具有较大的皮变形，当前对一个三角形是不是直角三角形，只能通过证明其中一个教师直角，那么我们应该如何判断这个角是直角？由此，教师就可以帮助学生形成笛思维：利用已知条件作直角三角形，在证明直角三角形与原三角形全等，那么以上问题就得意解决。做直角，截取两直角边相等，利用勾股定理和已知条件可以计算出斜边长c，最后通过三边对应相等的两个三角形全等（SSS），则可以证明学生自己的猜想。在整个教学过程中，学生积极思考，证明自己的猜想，处于学习的主置，学习效率较高。
4构建现代化的教学情境，激发学生的创新意识
当前我国已经进入了互联网时代，教师应该利用互联网加强师生之间的沟通，并通过互联网拓展学生的知识面，促进学生的进一步发展。例如：学习完勾股定理的相关知识后，教师可以将知识网络构造图放在校园网平台中，让学生在课外也能够对知识网络进行重温和学习。与此同时，教师可以在校园网平台中，典型例题，学生完成后提交给系统进行批改，教师则对学生的做题情况进行查看和统计，针对学生容易出错的题目，设计相应的教学环节，帮助学生强化这一领域的知识。另外，教师可以倡导学生组建课外学习小组，小组通过微信、QQ等现代化社交软件进行学习交流，学习好的带动学习差的，相互促进、相互学习，提高学生整体学习水平。学生在这样融洽、向上的学习环境中，学习氛围良好，学习效率也得以提高。且利用现代化交际手段，强化师生、生生之间的沟通交流，可以帮助学生强化知识，打造良好的交际圈，促进学生的全面发展。
5结束语
总而言之，随着现代化的发展，现代化技术深入到我们的生活和学习中，互联网时代的到来促进多媒体技术的进一步发展，创新初中数学勾股定理教学方法，教师应该充分利用多媒体技术和互联网技术，将抽象的勾股定理知识具象化，为学生创建活跃的课堂氛围，调动学生的学习积极性，帮助学生养成自主学习和自主探究的良好学习习惯。与此同时，教师还可以利用多媒体技术帮助学生拓展知识范围，除了课文以内的知识以外，让学生能够了解到课文以外的知识内容，促进学生自学能力的发展。在初中数学教学中，勾股定理教学是重点，也是难点，教师应该对教学方法进行创新，将多种教学方式应用于教学过程中，帮助学生牢固掌握勾股定理，使学生能够熟练运用勾股定理解答其他数学问题。
参考文献：
[1]曾云艳.如何有效创新初中数学勾股定理教学方法[J].新课程・中学，2016，19（11）：173-173.
