关键词：1、数学理论为什么1+1=2，2、哲理整性质，3、哲理整小数4、广义整数，5、有限不循环小数，6、有限循环小数，7、最大分数单位1/2，8、小数单位，9、最大小数单位——0.5等等
1、数学理论为什么1+1=2（1+1=2的基本原理、道理、哲理是什么？）：
纯粹数学理论上存在着缺陷与不足，那就是偶数能被2整除、奇数不能被2整除，换言之，纯粹数学在理论上根本无法承认和接受2是数学公理，因为奇数不能被2整除自身就是科学根据与铁的事实，偶数能被2整除、奇数不能被2整除，如此理论太绝对了，已经给纯粹数学的理论造成了不可思议，奇数不能被2整除、能不能以其他方式被2整除？值得深思、探讨、探索——不能还停留在偶数能被2整除、奇数不能被2整除玄学的理论水平上，要深化理论认识，…。
为什么1+1=2，本文回答既简单又深奥：偶数能被2整除，奇数不能被2整除却着实能被2哲理整除，奇数与偶数相反相成对立统一，1+1=2是数学首要公理，1+1=2蕴涵着深刻的对立统一规律，是啊！它真的既简单又深奥，它简单的表面上看似是小学生的基本知识，然而其道理深奥地不可思议、不可理喻、如此道理、哲理并非所有的人都能够理解与接受，更不是小学生能够理解的数学知识，...!
偶数能被2整除，奇数不能被2整除却着实能被2哲理整除，奇数与偶数不仅存在着对立性，而且还存在着共性和同一性，即异中之同，差异中的共性，…，
其一：奇数不能被2整除却着实能被2哲理整除就是指奇数与偶数的异中之同，差异中的共性与同一性，
其二：偶数能被2整除、奇数不能被2整除就是指奇数与偶数的差异性、排斥性、对立性，
因此说，奇数与偶数既有对立性又有同一性，奇数与偶数二者存在着相反相成、对立统一的辩证关系，它揭示着2是数学公理系统的首要公理，这是世界观的认识问题，有什么样的世界观就有什么样的认识论、方法论，如果玄学，无论如何都是无法理解、接受它，如此真理说不清、理还乱、但是它的庐山真面目就是如此，无法更改，古人云“不识庐山真面目、只缘身在此山中”，需要“跳出庐山看庐山”，要摆脱两千多年玄学的严重束缚，…。
为什么1+1=2不是指数论的“1+1”，为什么1+1=2？不仅要知其然还要知其所以然，…，绝对值1+1=2与数论的“1+1”既有差异又有联系，如果把素数2看作偶素数，那么数论的“1+1”是指大于等于6的偶数可表示为两个素数之和——歌德巴赫猜想，无需奇素数，本文素数就是指奇素数3，5，7，11，13，17，19，23，……，…，数论的“1+1”它是绝对值的特殊公理，数论的“1+1”与绝对值的1+1=2在数值逻辑公理系统中一脉相承，在绝对值1+1=2数值逻辑公理系统中蕴涵着数论的“1+1”，数论的“1+1”是数值逻辑公理系统偶环节上的特殊公理，换言之、数论的“1+1”也是数学公理（例如：6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7,14=3+11，16=5+11，18=3+15，……，无穷无尽）拥有客观存在性，并非被摘取下来才拥有真实性、摘取不下来就非真实性和非客观存在性，既不肯定也不否定模棱两可、这背离了数学（逻辑）排中律，…。
虽然哥德巴赫猜想数学命题没有被数学专家毕了、依然被人们研究着，但传统的素数“筛法”，此路不通已失去了昔日辉煌，…。
2、自然数与正整数、单位“1”与自然“1”：
1+1=2是科学抽象的、1+1=2以及正整数是相对于广义的单位“1”而言，单位“1”的含量绝对统一，1+1=2并非自然“1”的意义，事实上自然数与正整数既有差异又有联系，自然数是相对于自然“1”而言，正整数是相对于单位“1”而言，正整数是把自然数提升到了抽象的科学高度，由于自然数、时常因单位“1”不统一、“含金量”不一致，如果对自然数直接进行运算是有很大的局限性——有时正确、有时有偏差，我们人类是聪明智慧的，有了数学的广义的单位“1”、正整数，消除了自然数的局限性，…。
3、哲理整小数以及哲理整小数的双重性质（或哲理整分数和哲理整分数的双重性质）：
小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，......，的绝对值拥有相互矛盾的双重性质，其一是哲理整性质、其二是普通小数性质，哲理整性质是指小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，......（注：它们的小数部分均为0.5，只涉及到0.5也可以、也足以）的绝对值比其他普通小数的绝对值整装、…、本文将它们的这一特性简称为哲理整性质（相对整），因为1/2是最大分数单位，则0.5是最大小数单位，因此0.5拥有哲理整性质，它地地道道、的的确确客观存在着，我们的认识迄今为止还未意识到，如此道理、哲理并非所有的人都能够理解接受，唯恐越看越不明白，令人意乱、劳神，...。
哲理整小数：本文将小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…和它们的哲理整性质（相对整）统称为哲理整小数，务必明确的说明，哲理整小数拥有相互矛盾的双重性质，其一是哲理整性质、其二是普通小数性质，…。
哲理整分数：本文将分数1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2……和它们的哲理整性质统称为哲理整分数，哲理整分数拥有相互矛盾的双重性质，其一是哲理整性质、其二是普通小数性质，…。
普通小数：不包含哲理整小数在内的小数简称为普通小数。
普通分数：不包含哲理整分数在内的分数简称为普通小数。
4、1/2和0.5哲理整性质的科学依据:
分数拥有分数单位，数学教科书应该明确指出1/2是最大分数单位，1/1不是最大分数单位、是整数分数，1/1=1依然体现整数性质、是一个特例，然而迄今为止还没有小数单位，数学需要向前发展提出小数单位、最大消暑单位，要明确指出最大小数单位是“0.5”，而且为奇数能被2哲理整除提供客观科学依据，才更符合数学的客观实际！单凭直觉，最大分数单位1/2和最大小数单位0.5还未体现出其真正数学意义，最大分数单位和最大小数单位在本质上体现哲理整性质才是其真正的数学意义，这是如何对待数学真理的重大认识问题，并非可有可无，可无必然是一个数学错误，1/2和0.5的哲理整性质是微小微妙、微乎其微的变化、微不足道的差异性，若不仔细认真观察很难被人们发现，形而上学排斥它、大多数人无法理解接受它，有理难辩啊，难！真的很难！不仅如此还会遭人讽刺、挖苦等等，…。
关于分数和小数：分数单位1/2，1/3，1/4，1/5，1//6，1/7，1/8，1/9，1/10，…对应下的小数应为小数单位，例如：1/2=0.5，1/3=0.333….，1/4=0.25，1/5=0.2，…，1/10=0.1等等，….。
哲理整性质的来龙去脉：在数值逻辑公理系统中，派生子集合，0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……，…从系统发展变化中分化出来，占据整数的位置充分地十足地体现其哲理整性质或者说体现其相对整性质，数值逻辑公理系统为其提供科学依据；最大分数单位1/2、最大小数单位0.5也为其提供科学依据，只有在数值逻辑公理系统中才能够发现0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……（1/2，3/2，5/2，7/2，9/2，11/2，13/2，……）拥有哲理整性质，单凭直觉无从谈起，单凭直觉只能看到最大分数单位和最大小数单位，…。
能被2整除的是偶数，…，整数0，1，-1，2，-2.，3，-3，4，-4，5，-5，……，…为偶数能被2整除提供科学依据举世公认，…。
为了便于理解接受也可以首先把0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…暂时将它们看作哲理整数（相对整数），哲理整数为奇数能被2哲理整除提供客观科学依据，哲理整数指小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…的绝对值比其他普通小数的绝对值整装——因为0.5是最大小数单位，与整数形成异中之同，差异中有共性，数学与哲学将这一特性简称为哲理整性质（相对整）——哲理整数（相对整），但是理解接受以后：绝对不能忘记了哲理整数拥有相互矛盾的双重性质，一是拥有普通小数性质、二是拥有哲理整性质，只承认它们的小数性质认识是片面的，只承认0.它们的哲理整性质认识是片面的，…。
事实上只有把哲理整数统称为哲理整小数体现双重性质才更确切、完整、正确，…。
5、有理数系数值逻辑公理系统（就不展开叙述了）：
{[0～1]}1{[1～2]}3{[2～3]}5……，…（此结构式上下交错对应不能散开）
[0.1～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……，…
第1环节：1∑{[0～1]}=∑{[0～1]}，
第2环节：2∑{[0～1]}=∑{[0.5～1.5]}，
第3环节：3∑{[0～1]}=∑{[1～2]}，
第4环节：4∑{[0～1]}=∑{[1.5～2.5]}，
第5环节：5∑{[0～1]}=∑{[2～3]}，
第6环节：6∑{[0～1]}=∑{[2.5～3.5]}，
……，…，
∑{[0～1]}意指0与1之间的基数之和，它是集合族、有无穷个子集合或有无穷个数组，其他依次类推，符号：意指派生子集合，很显然，在系统数值逻辑运算过程中，小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……从系统发展变化过程中产生分化出来，占据整数位置，充分体现其哲理整性质，即派生子集合，为奇数能被2哲理整除提供科学依据，蕴涵着完整的数值运算规律，数论、集论、算术三位一体、辩证统一，蕴涵着完整数学公理2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……，…。
潜无限给数值逻辑奠定基础并给作科学指导，潜无限排斥实无限，…。
实无限只能给数理逻辑奠定基础，如何给数值逻辑作科学指导？实无限排斥潜无限，事实上互相排斥，…。
6、广义整数：
广义整数：将整数和哲理整小数统称为广义整数（将整数和哲理整分数统称为广义整数），…。
7、有限不循环小数：
有限不循环小数：为了便于理解，简言之，我们把无限不循环小数有限数字（小数点右边至少有两位或两位以上不循环数字）称之为有限不循环小数，例如：3.14，3.1415，3.141592，3.1415926，1.4142，1.41421356，2.17181938，……，有无限不循环小数必然存在着有限不循环小数，在数值逻辑中，有限不循环小数与潜无限不循环小数拥有替代无理数数值的巨大意义与作用；有限小数中的小数再如此细致地划分出有限不循环小数、有限不循环小数，才更切合实际，在数值逻辑公理系统中会发现：有限不循环小数拥有客观存在性，拥有无限不循环小数就必然存在着有限不循环小数，这的确是一个认识问题，有限不循环小数可表达为分数形式，因此有限不循环小数是有理数，同时还是超越无理数的有限形式，因此可替代无理数数值（无理数的近似值），只谈无限不循环小数（只谈无理数），不涉及到有限不循环小数是不行的，…。
尤其是有限不循环小数，在实质上拥有替代无理数数值的巨大意义与作用——此乃有限不循环小数的重要数学意义。
8、有限循环小数:
有限循环小数:为了便于理解，简言之，我们把无限循环小数有限个循环节（小数点右边至少有两个或两个以上数字循环节）称之为有限循环小数，如：0.1616，0.161616，0.666，0.666666，0.78787878，0.999999，……，有无限循环小数必然存在着有限循环小数，有限循环小数客拥有客观存在性，它可替代无限循环小的数值，…，这也是一个认识问题，有限循环小数可表达为分数形式，因此有限循环小数是有理数，…。
9、普通有限小数：
把小数点后边有一位数或两位数以内的小数简称为普通有限小数，例如：0.9，1.1，1.2，3.6，3.8，5.8，6.8，7.16，………，…。
10、总之、数学理论要有所突破、要有所进展：
数学（算术）需要向前发展有所突破：
（1）提出数学理论为什么1+1=2，
（2）明确指出1/2是最大分数单位，
（3）提出小数单位、最大小数单位、0.5是最大小数单位，
（4）将有限小数细致划分为：
a、哲理整小数：0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，
b、普通有限小数，
c、有限不循环小数，
d、有限循环小数，
（5）有理数系数值逻辑公理系统，
（6）广义整数，
（7）哲理整分数：1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，……，
（8）整数分数：把1/1，-1/1，2/1，-2/1，3/1，-3/1，4/1，-4/1，5/1，-5/1，6/1，-6/1，……统称为整数分数，拥有双重身份，…。
（9）双素数：例如6，10，14，22，26，34，38，……，其特征，能表示为两个等值素数之和，双素数星星点点揭示着哥德巴赫猜想拥有客观存在性，无法否定它，
（10）偶素数——2：2既是一个偶数又一个素数，把2简称为偶素数，
等等才更接近数学的实际情况，希望数学教师率先转变数学思维理念给以鼎力支持，…。
总之，依然还是把整数与分数统称为有理数，只不过是又将分数划分为哲理整分数、普通分数、还有整数分数，...，为什么1+1=2——是探索其原理、道理、哲理，一定要弄明白其中的原理、道理、哲理！…，再次说明，如此道理、哲理并非所有的人都能够理解接受，这是很正常的，且末当真、切莫较真，同时也说明一点本文为什么1+1=2的含义不同于1+1为什么等于2？，也未直接涉及到数论的“1+1”，…。
错字、多字、漏字、错误在所难免，本文作为数学学术最新观点，仅供参考、并不强加于人。
参考文献：
1、《辩证唯物主义和历史唯物主义原理》，中国人民大学出版社出版
2、《古今数学思想》（北京大学数学系数学史翻译组译）上海科学技术出版社出版，1981年7月。原作者：（美国数学家）M.克莱因著
3、《普通逻辑原理》，主编：吴家国，高等教育出版社出版，1992年9月
“适应”，广义地说，是教学必须适应社会发展的需要，必须适应自然界的客观规律，必须适应人类思维发展的现状；狭义地说，就是教与学要相互适应，教师与学生要相互适应，教法与学法及教材要相互适应。
“适应”不是目的。“适应”的目的是为了“转化”，是为了使学生在知识、能力与智力上，在德、智、体、美、劳诸方面，实现“由低到高、由差到好、由弱到强”的转化，从而获得适应二十一世纪要求的、符合党的教育方针的有效发展。
近年来，在运用“适应与转化”这一教学辩证法的基本原理进行教学改革方面，我们有以下几点体会：
一、课堂教学结构必须与教材特点和学生实际相适应
课堂教学结构是教学过程中学生、教师、教材、教学目标、教学手段等要素间相互关系与联系的表现形式。其常常从教学环节上表现出来，所以课堂教学结构又称教学过程中各个教学环节间的相互关系与联系。精心设计课堂教学结构是优化课堂教学、提高课堂教学效益的需要。精心设计课堂教学结构，就要精心安排教学环节并优化各个教学环节的组合。此中最重要的依据就是教材特点和学生实际。即课堂教学结构必须与教材特点和学生实际相适应。
小学数学教材内容有概念、性质、法则、公式等基本知识，有计算、应用题和几何初步知识。不同的教材内容要求不同的课堂教学结构。例如概念教学，必须按照“概念的引入——概念的形成——概念的深化——概念的巩固——概念的应用”这一递进的步骤设计课堂教学结构，而应用题教学，则必须按照“审清题意——明确数量关系——列式计算——检验与写答”的进程设计课堂教学结构。
另外，课堂教学结构还必须与学生实际相适应，绝不能抓了教材，忘了学生。
例如学生的学业基础好，自学能力强，可放手让学生自学新知，通过独立思考和课堂讨论、自练互批等活动完成学习任务。反之，就要加强点拨讲解、示范指导的比重，实行多搀多扶、小步迈进的教学。
课堂教学结构与教材特点和学生实际相“适应”，着眼点是使教材结构有效地“转化”为学生的认知结构。为了“转化”必须“适应”。
二、认知程序必须与学生的思维规律相适应
在教学过程中，学生的认识活动总是按照一定的程序展开的。精心设计认知程序是优化教学过程的核心。设计认知程序的依据是把握学生的思维规律，使认知程序与学生的思维规律相适应。
课堂教学新知识，学生的思维活动一般是沿着“复习旧知——直观感知——形成表象——抽象概括——消化巩固——具体运用”的规律向前推进的。认知程序的编排只有与此相适应，才能产生良好的教学效果。例如“长方形面积计算”的教学，设计的程序可有以下七步：1．旧知铺垫。复习面积、面积单位，用面积是1平方厘米的正方形量长方形；2．拼拼摆摆。?用边长是1厘米的正方形拼摆成3x1、3x2、4x3平方厘米的长方形；3．看看想想。?每排摆几个正方形，与长方形的“长”有什么关系？一共摆几排？与长方形的“宽”有什么关系？
4.看图，脑子里摆图形。想：长与宽和面积有什么关系？先摆长方形长4厘米，宽2厘米，面积是多少？再想像：长摆6个1平方厘米的学具，宽摆4排，面积是多少？
5.大胆设想。长8厘米，宽3厘米的长方形面积可能是多少？验证之后得出结论：长方形的面积＝长×宽；6．课内练习。内容分三个层次；7.课堂小结。
这七步认知程序，充分反映了学生思维发展的规律，特别是在直观感知的基础上建立表象和运用表象进行形象思维，很自然地过渡到抽象思维一环，这是教学与学生思维发展规律相适应的结果。
三、教学方法必须与学生需求相适应
由于先天素质、教育影响和个人主观努力的不同，同班级的学生在学业基储学习能力和发展水平等方面存在着差异。
这种有差异的学生在学习上的需求是不尽相同的。学生学习需求上的差异性要求教师实行有差异的教学，以适应各类学生学习上的实际需求，促使各类学生获得最优的发展与提高。
由于教学方法与学生的实际需求相适应，调动了各类学生的学习积极性，学业成绩普遍上升，学习能力有了很大提高，这是“适应”促“转化”的见证。
四、学注指导必须与学生学法水平相适应
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（甘肃省镇原县平泉中学刘永强744517）
摘要：数学新课改要求教学中讲背景来源，讲思想方法，注重过程，联系实际，突出应用，体现数学的文化价值；
关键词：数学新课改、更新观念、关注过程，应用、提高创新能力。
随着数学课程改革的不断深入，数学教学中对教师的教和学生的学的评价及要求也在不断地发展。数学新课程所倡导的教学理念：讲背景来源，讲思想方法，注重过程，联系实际，突出应用，体现数学的文化价值；在教材编排上也从封面设计，导引，章头图及正文的“想一想，做一做，议一议，读一读”等都体现了数学的美学价值和人文精神。通过两年多的试改，感受颇深：
1、教师观念更新，提高认识
在课堂教学中，教师一改以往的角色，成为教学活动中的参与者、合作者、组织者，而宽松、和谐、民主、生动活泼的数学课堂使学生在没有任何压力下产生强烈的求知兴趣，同时也能发现数学的文化价值。
首先，过去对于教师的“主导”地位问题，是课堂评价的一个论据，而在数学新课程改革中对我们理解更会有不同侧面和深刻程度上的差异，所以，当教师把自己变为课堂活动的一名合作者、参与者时，也将自己和学生放在了同一水平上，才能从数学学科的特点出发，考虑到每个学生的不同背景，每个学生的现实基础，认知水平等进行教学，从而发挥每个学生的最大潜能。
其次，在新课改理念下，教师对学生的地位也有了新的认识；教师与学生在教学中的关系是动态的，不再起什么“主导”与“主体”性作用，这一定位，拉近了师生的距离。过去我们评价一节课只看表象，评课者只关注教师在这节课中“戏”演得是否令观众满意，再看观众反应如何，来评这节课的成功与否，注重了数学教学的系统结构和形式化，而较少关注从“感知数学情景、体验数学本质、概括数学抽象、反思数学应用。”的完整数学学习过程，这种形式化教学搞得教师手忙脚乱，学生也无所适从，且看美国中学数学教学的一个案例：
在美国西雅图一节高二数学课上，老师讲的就是一个测量塔高度的问题，一上课，老师就把这个任务交给学生，说塔是高不可及的朵想办法测量这个塔的高度。学生听完以后就每个人拿了一个图形计算器，分成四、五个人一个小组就开始做了。看到这道题我觉得好笑，这不正是前几天才给学生上的一节课吗？是初三数学中的一道应用问题，稍微差不多的学生都很快得出答案。可问题是人家高二学生却做得津津有味，全班同学分完工以后，老师没有做任何提示，学生就开始做这件事情，且没有几个学生去努力找一个公式，绝大多数都在按分工试算：这塔多高呢？有的学生就先设它为100米，找测量点，发现凑不出准确答案，就开始分工，甲把塔放高一点，已把塔变矮点儿，丙把第一个测量点往前点，丁把测量点往后变，四个人分工做，到下课全班还不到10个学生得出结果，老师说：“我们继续去做”。
而这节课在我们教育界的评价会是怎么样呢？没效率，没结果。对比我们的评价方式，我不明白碰撞点在什么地方，如何看待这节课，曾有专家这样认为：在没有任何提示的情况下，大家分工用不同的方法来探索的过程，根据别人的信息来改进自己探索方向的过程，在他们看来比知识更重要。这就使我想到为什么美籍华人杨振宁能获得诺贝尔物理学奖；2006年相当于数学诺贝尔奖的“菲尔茨奖”获得者又是澳籍华人，年仅31岁的陶哲轩，而我们土生土长的中国人却没有，这一切不就说明教育改革，观念更新的可行性吗？
让我们思考我们的数学教育尤其是农村中学数学教育现状，从评价体系的导向上就决定了我们的数学教育是为“应试”而备的，从小学到中学，全部是模块化的：考什么，教什么。而对数学的发展，她的文化价值大概问起来没几个人会知道，对现行新课程知道的又有多少呢？教师为了完成上级下达的任务，在拼时间，讲题型，抓训练，学生为了一个“愿望”，在这个“愿望”的奴化下，麻木的、机械的、毫无生机的学习，我曾经做过一个调查，我所在地方的农村初三学生每周周内学习数学的时间至少在800分钟以上，而其他国家和地区平均是217分钟，我们的代价是多么的大啊，可效果怎么样，我只能用少得可怜来说。
在学习了“中美高层教育交流”研讨后，我对自己八年的数学教学作了回顾，深感自己只不过是个知识的“二道贩子”不停地学习，再将我知道最多，自认为最好的、最得意的东西传授给学生，并告诉他们“量积累到一定程度才能引起质变”并举了数学家苏步青当年为了考取国际上有名的日本帝国大学，对解析几何、微分两门课做了近万道题，结果以双百的优异成绩被录取；传说中王羲之练干了三缸水，若非如此若练，他岂能丰为书圣。可是我们学生苦了，力也出了，成绩怎么样，全县5000多学生参加高考，几年才培养出一个清华学生，而有关部门就认为质量可观，大力宣扬。
2005年新课程改革在全国轰轰烈烈开展，农村中学数学教育也受到影响，但波动不大，广大农村教师只是从课本上的变化中感觉到了课改的气息，因为受各种因素制约，我们绝大多数都没有外出学习和培训的机会，这就使的我们的课改还要加大力度。
2、关注数学过程，培养创新能力
这是数学课程改革中的“重中之重”，中国教育学会副会长，东北师范大学校长史宁中反复强调“归纳与创新”，学生思维的过程远比简单的数学结果重要。2006年9月6日和7日，“中美数学教育的高层交流”在北京举行，美国学者介绍了他们的数学课上教师讲得很少，主要是学生进行合作交流探索，在我国偏远的农村学校，数学课堂上仍是教师讲为主，学生的自主性很难发挥，他们自小就养成被动接受的习惯，而新课标下的教材在情境创设、培养学生创新意识和实践能力方面为农村数学教育提供了方便，给学生给了更多的思维空间。
在课程改革中，教育理念的更新，必然带来教学行为的变化，只要我们时时做个教学有心人，了解数学发展方向，数学价值，不失时机地反思自己的教学，就可积极稳妥地解决好新与旧的关系。
参与文献：
关键词：《概率论与数理统计》教学安排教学内容教学形式
前言
《概率论与数理统计》是研究随机现象客观规律的一门学科，是全国高等院校数学以及各工科专业的一门重要的基础课程，也是全国硕士研究生入学数学考试的一个重要组成部分。该课程处理问题的思想方法与学生已学过的其他数学课程有很大的差异，因而学生学起来感到难以掌握。大多数学生感到基本概念难懂，易混淆、内容抽象复杂，难以理解、解题不得法、不善于利用所学的数学知识和数学方法分析解决实际问题。为此，笔者从教学安排、教学内容、教学形式和考核方法4个方面对《概率论与数理统计》的教学进行了研究和探讨。
一、教学内容和安排
《概率论与数理统计》的内容以及教师授课一般都存在着重理论轻实践、重知识轻能力的倾向，缺少该课程本身的特色及特有的思想方法，课程的内容长期不变，课程设置简单，一般只局限于一套指定的教材。《概率论与数理统计》课程内容主要包括3大类：①理论知识。也就是构成本学科理论体系的最基本、最关键的知识，主要包括随机事件及其运算、条件概率、随机变量、数字特征、极限定理、抽样分布、参数估计、假设检验等理论知识，这些是学习该课程必须要掌握的最重要的理论知识。②思维方法。指的是该学科研究的基本方法，主要包括不确定性分析、条件分析、公理推断、统计分析、相关分析、方差分析与回归分析等方法，这些大多蕴涵在学科理论体系中，过去往往不被重视，但实际上对于学生知识的转化与整合具有十分重要的作用。③应用方面。《概率论与数理统计》在社会生活各个领域应用十分广泛，有大量的成功实例。
因此，在课程设置上，不能只局限于一套指定的教材，应该在一个统一的教学基本要求的基础上，教材建设应向着一纲多本和立体化建设的方向发展。在教学进度表中应明确规定该门课程的讲授时数、实验时数、讨论时数、自学时数(在以前基础上适当增加学时数)，这样分配教学时间，旨在突出学生的主体地位，促使学生主动参与，积极思考。
二、教学形式
1)开设数学实验课教学时可以采用以下几个实验：在校门口，观察每30s钟通过汽车的数量，检验其是否服从Poisson分布；统计每学期各课程考试成绩，看是否符合正态分布，并标准化而后排出名次；调查某个院里的同学每月生活费用的分布情况，给出一定置信水平的置信区间；随机数的生成等等。通过开设实验课，可以使学生深刻理解数学的本质和原貌，体味生活中的数学，增强学生兴趣，培养学生的实际操作能力和应用能力。
2)引进多媒体教学多媒体教学与传统的教学法相比有着不可比拟的优势。一方面，多媒体的动画演示，生动形象，可以将一些抽象的内容直观地反映出来，使学生更容易理解，同时增强了教学趣味性。如在学习正态分布时，可以指导学生运用Matlab软件编写程序，在图形窗口观察正态分布的概率密度函数和概率分布函数随参数变化的规律，从而得出正态分布的性质。另一方面，由于概率统计例题字数较多，抄题很费时间。制作多媒体课件，教师有更多的精力对内容进行详细地分析和讲解，增加与学生的互动，增加课堂信息量。对于教材中的重点、难点、复习课、习题课等都可制作成多媒体课件形式，配以适当的粉笔教学，这样既能延续一贯的听课方式，发挥教师的主导作用，又能充分体现学生的认知主体作用。比如在概率部分，把几个重要的离散型随机变量、连续型随机变量的分布率、概率密度、期望、方差等列成表格；在统计部分，将正态总体均值和方差的置信区间，假设检验问题的拒绝域列成表格形式，其中所涉及到的重要统计量的分布密度函数用图形表示出来。这样，学生觉得一目了然，通过让学生先了解图形的特点，再结合分位数的有关知识，找出其中的规律，理解它们的含义及联系，加深了学生对概念的理解及方法的运用，以便更容易记住和求出置信区间和假设检验问题的拒绝域。这样，不仅使学生对概念的理解更深刻、透彻，也培养了学生运用计算机解决实际问题的能力。
3)案例教学，重视理论联系实际《概率论与数理统计》是从实际生产中产生的一门应用性学科，它来源于实际又服务于实际。因此，采取案例教学法，重视理论联系实际，可以使教学过程充满活力，学生在课堂上能接触到大量的实际问题，可以提高学生综合分析和解决实际问题的能力。如讲授随机现象时，用抛硬币、元件寿命、某时段内经过某路口的车辆数等例来说明它们所共同具有的特点；讲数学期望概念时，用常见的街头用随机摸球为例，提出如果多次重复地摸球，决定成败的关键是什么，它的规律性是什么等问题，然后再讲数学期望概念在产品检验及保险行业的应用，就能使学生真正理解数学期望的概念并能自觉运用到生活中去；又如讲授正态分布时，先举例说明正态分布在考试、教育评估、企业质量管理等方面的应用，然后结合概率密度图形讲正态分布的特点和性质，让同学们总结实际中什么样的现象可以用正态分布来描述，这样能使学生认识到正态分布的重要性及其应用的广泛性，从而提高学生的学习积极性，强化学生的应用意识。
另外，也可选择一些具有实际背景的典型的案例，例如概率与密码问题、敏感问题的调查、血液检验问题等等。通过对典型案例的处理，使学生经历较系统的数据处理全过程，在此过程中学习一些数据处理的方法，并运用所学知识和方法去解决实际问题。
三、考核方法
考试是一种教学评价手段。现在学生把考试本身当作追求的目标，而放弃了自身的发展愿望，出现了教学中“教”和“学”的目的似乎是为了“考”的奇怪现象。有些院校概率统计课程只有理论课，没有实验课，其考试形式是期末一张试卷定乾坤，虽然有平时成绩，主要以作业和考勤为主，占的比率比较小(一般占2O)，并且学生的作业并不能真实地反映学生学习的好坏，使得教师无法真正地了解每个学生的学习情况，公平合理地给出平时成绩。而这种单一的闭卷考试也很难反映出学生的真实水平。
所以，我们首先要加强平时考查和考试，每次课后要留有作业、思考题，学完每一章后要安排小测验，在概率论部分学完后进行一次大测验。其次注重科学研究，每个学生都要有平时论文，学期论文，以此来检查学生掌握知识情况和应用能力．此外还有实验成绩。最后是期末考试，以A、B卷方式，采取闭卷形式进行考试。将这4个方面给予适当的权重，以均分作为学生该门课程的成绩。成绩不及格者．学习态度好的可以允许补考。否则予以重修。分数统计完后，对成绩分布情况进行分析，通过总体分布符合正态分布程度和方差大小判断班级的总体水平，并对每道题的得分情况进行分析，评价学生对每个知识点的掌握情况和运用能力，找出薄弱环节，以便对原教学计划进行调整和改进。总之，通过科学的考核评价和反馈，促进教学质黾不断改进和提高。
[参考文献]
教学是师生的双边活动，教师的责任不仅在于自己把课讲好，还要组织学生学好。上课伊始，环顾全班，示意学生坐正。目光向老师和黑板聚集，作好听课准备。这样，虽然讲课慢了几秒钟，但营造了全班良好的学习气氛。学生们集中的注意、与老师合拍的思维，其收益绝非抢先几秒钟讲课可得。相反，如果上课铃声刚停，老师就急乎乎讲新课，置学生的松散状况于不顾。教学效果可想而知。所以，上课开始的几秒钟的安排是值得认真考虑的。汽车驾驶员把“宁停三分，不争一秒”作为座右铭。我们数学教师也可借鉴。
二、新知引入，要慢些。
一般地说，数学知识是环环紧扣、节节相联的，新知识是旧知识的延续和发展，新知识又是后续知识的基矗因此，新知的引人要慢些。引入新知时应留出时间让学生找到新旧知识的连接点，并运用己有的知识尝试构建新的知识结构。这样可以使学生积极主动地获取知识。
三、语言节奏，要慢些。
小学数学知识具有一定的抽象性。运用生动、形象的语言，把抽象的数学知识转化为具体的、为学生易于理解接受的知识，是堤高课堂教学效率的一个重要方面。为了使课本知识变得浅显通俗，使学生易懂易学，数学教师讲课时语言要慢些。发问要慢，叙述概念要咬文嚼字，讲授难点要注意停顿。同时，还要讲究语调、节奏和情感。应根据不同需要赋予数学语言以不同的情感色彩。
四、课堂提问，要慢些。
在数学课堂教学中，特别是在公开课教学中，有的教师刚提问就让学生举手发言，或同时连续提好几个问题，以致学生无言对答，或回答不到点子上，颠三倒四。究其原因，症结是提问后，学生缺少分析、思考的时间。如果教师的提问慢些，提问后，有意识地图出时间给学生思考，就能取得较理想的教学效果。例如：有位教师提出这样一个问题：“给的分子加上4后，要使分数的大小不变，分母应加上几？”问题提出后，有的学生立刻举手，这位熟师没有急于让学生回答，而是劝他们再认真思考。当时，教室里寂静无声，但学生都在积极思索，等大部分学生举手后，这位教师才让他们回答。结果学生都能说出正确答案。试想，如果提问后不留出充裕的时间，而让学生匆匆发言，多数学生一时能回答出来吗？
一、更新观念，加强自身思想建设
提高数学素养首先要深刻领悟数学素养的涵义，数学素养是指人们通过数学教育及自身的实践和认识活动，所获得的数学知识、技能、能力、观念和品质的素养。它除了具有素质的一切特性外还具有精确性、思想性、开发性和有用性等特征。
提高数学素养有着极其重要的意义。在社会高度文明的今天，物质世界和精神世界只有通过量化才能达到完善的展示,而数学正是这一高超智慧成就的结晶，它已渗透到日常生活的各个领域。提高学生的数学素养，即提高了学生适应社会、参加生产和进一步学习所必须的数学基础知识和基本技能，这是时代的需要，也是学生实现自身价值的需要。提高学生数学素养应认清“应试教育”体制给数学教育带来的弊端。在长期“应试教育”的影响下，数学教育重智轻能、重少数尖子生忽视大多数学生、重视理论价值忽视实际应用价值的现象非常严重。理论与实际脱节，知识与能力脱节，无法跟上时代的要求。
提高学生数学素养，还要求教师应树立教书育人的数学观、教育观，不能把数学教学看成是单纯的知识传授，而应育人于教书中，树立“教师是主导，学生是主体”的思想，使数学教育成为真正意义上的素质教育，成为数学化的教育，让学生学习、参与数学化过程，充分发挥数学的形式训练价值及应用价值。同时应结合我国改革开放及经济建设的实际，把辩证唯物主义和爱国主义教育的内容始终贯彻在教学中，激发学生的民族自豪感和建设祖国的责任感。
二、加强学习，提高自身业务素质
科学技术日新月异的发展，新思想新观念层出不穷，给数学教学不断注入了新的活力。随着投影仪、电视录像、计算机的日益普及应用，以微机辅助教学为代表的现代化教学方法将相对抽象、枯燥的数学教学变得直观、形象、情趣盎然。
在这种形势下，单一的知识结构已远不能胜任提高学生数学素养的需要，这就要求数学教师不断加强自己的业务学习，拓宽知识领域，更新知识结构，时刻了解数学发展的最新动向、经济建设及社会发展对数学的要求等。丰富自己的知识贮备，成为学生的示范者、咨询者、质疑者、鼓励者。
三、探索提高数学素养的有效途径
1、重视教材改革
教材内容的调整是提高数学素养应优先解决的问题，严格的说，我国目前部分数学教材基本上是按应试目的而设计的，忽视了实际应用。数学仅看成是继续学习的工具，它所强调的思维，推理、判断等能力也基本都是通过习题来培养的，以致变成了解题能力的训练。而很多例题、习题又是多年不变，无法跟上社会进步的形势，因此教材改革势在必行。在新教材未出台之前，立足现行教材，充分挖掘内涵，渗透一些与市场经济、日常生活、科技发展密切相关的数学应用内容则是必须和有效的，但教材内容调整应注意这样几个原则：一是要更贴近生活，提高学生的兴趣，同时有利于使学生了解一般社会知识与科学知识；二是要具有典型性，使学生能够形成科学解题的思想方法，达到举一反三。横向渗透的目的；三是要更具科学性、通俗性、趣味性。
2、突出基本教学思想和方法教学
在数学教学活动中，数学思想方法和数学知识是两个有机组成部分，掌握了思想方法可产生和获得知识，而知识中又蕴藏着思想方法，两者密不可分、缺一不可。正是由于这种辩证统一的关系，决定了我们在教学中，在强调知识的同时还得突出思想方法教学。在教学的每一个环节，如概念讲解、定理证明、例题解答，都蕴含着大量的数学思想方法。作为教师要善于挖掘，在知识教学的同时，始终渗透必要的思想方法传授。
3、加强数学运用能力教学
数学运用能力是目前数学教学的薄弱环节，因此提高学生数学运用能力是提高数学素养的关键，在实际教学中应注意从这样两个方面努力：①重视数学概念的演变过程教学。数学概念来源于实践，是对实际问题高度抽象的结果，能更准确地反映科学本质，具有普遍意义。但正是这种概括和抽象的结果，使数学学习和数学应用之间形成了一条难以逾越的鸿沟，致使学生们虽学了很多知识却不知如何运用。这就要求在数学概念教学中能体现从实践中来到实践中去的原则，使学生弄清数学概念的发生、发展过程，弄清概念在现实中原型是什么？及演变后的一般意义又是什么？这样才能追本求源以不变应万变。这样在学习导数的应用，如生产效率、边际、弹性时，就不致于觉得过于抽象而无从下手了。
②开展模型教学及数学建模能力训练。在运用数学知识去解决实际问题时，首先要构筑实际问题的数学模型，然后用数学理论和方法寻出其结果，再返回到实际问题中实现问题解决，最后反过来又促进数学新思想、新理论的建立和发展。
因此数学建模是沟通数学理论与实际的中介和桥梁，培养学生数学建模能力是培养数学思维和应用能力的重要手段，在教学过程中穿插建模能力训练对学生是十分必要的。
培养学生建模能力是一个循序渐进的过程。开始应从简单问题入手，师生共同创建模型，引导学生初步掌握用数学形式刻划和构造模型的方法，培养学生积极参与和勇于创造的意识，随着能力和经验的增加，可通过实习作业或活动小组的形式，由学生展开分析讨论，分析每种模型的有效性，提出修改意见，讨论是否有进一步扩展的意义。这样学生可以在不断发展、不断创造中培养信心，纠正理解的片面性。比如下面实际问题的建模，学生就出现两种不同的模型。
问题：对于同样的航程，船在静水里往返一次时间和在流水中往返一次时间是否相同设船速为U，航程距离为5．水流速度为V，（其中U＞V）。
模型1：
a.流水中船的上水速度为U-V,下水速度为U+V，则上下水平均速度为U+V+U-V/2＝Ub.因为静水中船速为U，静水和流水往返行程均为2S。
得结论为船在静水和流水中往返一次时间相同。
模型2：
a.流水中船上水用时间:t上=s/UV下水用时间t下＝S/U+V往返总时间t1=t上＋t下=S/U-V+S/U+V=2US/U的平方-V的平方b.静水中往返总时间t2=2S/U-2US/U的平方C:比较U平方>U的平方-V的平方t1>t2得结论，船在静水中往返所用时间要短些。
对于两个截然不同的结论是有效的，也弄清了模型1失效的原因是简单地采用算术平均值求平均速度所致。学以致用，必须对相关的数学知识充分吃透和掌握，否则将得出错误的结论。
【关键词】高中数学；分层教学；理论实践
一、分层教学理论概念探析
分层教学理论的诞生，主要是为了能够弥补以往的教学方式无法针对水平不同的学生进行有效性教学的一种教学方式，这种教学理论的提出对于教学改革有着非常重大的意义，在二十世纪初期，分层教学的理论被提出，这种教学理论倡导对于不同水平的学生利用不同的方式来进行教学，使得处于各个水平阶段的学生都能够通过这种方式来提升水平。有些人认为，一些学生无法取得良好成绩主要是因为智力的原因，但是美国的一位专家却不认可这个原因，这位专家认为这些学生之所以无法取得良好的成绩，是因为他们没有获得适合自己的教学条件以及环境，并不是因为智力因素的原因，分层教学理论也就这样出现了，这种理论的出现也主要是为了给不同类型的学生提供适合他们的教学环境以及条件，从而使得每一个学生都能够获得进步和提升。对于高中数学来说，分层教学的方式是非常有意义的，因为通过实践我们能够发现，如果不能按照学生的具体水平来实施具有针对性的教学方式，那么所获得的教学效果是非常有限的。以往的一锅端教学方式，对于学生的心理发展和生理发育的不均衡性是缺乏关注的，同时把学生的学习兴趣和态度以及能力都看作智力因素来对学生进行定义，这也是不符合客观事实的。学生之间的各个方面的差异一直是客观存在的，如果一直按照原有的单一的教学方式，必然会不利于学生的数学水平提高，长此以往，会造成学生的数学水平两极分化更加严重。所以，在高中数学的教学过程中，利用分层教学的方法是符合客观需求的，同时也符合因材施教的教学要求，最重要的是能够提升对于所有学生的教学有效性。
二、高中数学实施分层教学的必要条件
首先，在实施分层教学之前，应该对于学生的具体情况进行了解，通过问卷调查、走访家长以及观察和谈话等方式，对学生的数学水平、数学学习方法以及情感进行了解和掌握。另一方面，也要充分考虑到学生的自尊心以及在日常生活中所面临的心理压力，在进行分层教学之前，进行思想教育工作是十分必要的，要把原因说清楚，让每个接受分层教学的学生能够清楚地认识到分层教学是对自己有利的，使得不同数学水平的学生都能够在教学过程中得到提升，潜力得到充分发挥。其次，要让学生能够通过自己的数学水平、数学成绩以及态度来自主选择学习层次，教师根据学生所进行的选择结合自己对于学生基本信息的了解以及学生的潜力和心理特征等方面，把学生按照2∶6∶2的比例分为三种层次，在分层的过程中，也要制定必要的发展目标和基本目标，并且要根据班级内部的具体情况来进行灵活的调整。
三、高中数学实施分层教学的具体措施
关键词钢琴教学数码钢琴集体教学
近年来，随着高等师范院校招生数量的逐年增加，钢琴教师课量剧增。如果继续沿用传统授课方式，势必要大量增加教师的编制，大幅度提升教育成本。数码钢琴集体课的引入犹如雪中送炭，为有效解决这些矛盾开辟了一条崭新的途径。
1数码钢琴的特点
近年来，随着获益于计算机技术而飞速发展的电子音乐迅猛发展，昔日价格高昂的电子数码乐器在现实生活中的运用大大提高。以数字音频采样、数字处理技术基础的数码钢琴便是众多数码乐器中的骄骄者。数码钢琴的工作原理是通过立体声数字采样技术把传统钢琴等乐器音色进行采样，储存在大规模电脑芯片中。演奏时经过DSP处理器的处理，加上相应的效果，通过其自带的功放和喇叭发声。其键盘结构是模拟真钢琴的弦击机构，可以使演奏者像演奏真琴一样自如的发挥表弦，如控制声音的强弱、长短等。
数码钢琴的优点有：
（1）数码钢琴对环保十分有利。大多采用中密度板、刨花板等再生材料，来源容易，表面漆面不易开裂和变形。数码钢琴还可以避免噪音问题，带上耳机，无论你怎么尽情演奏都不用担心影响到别人。
（2）除了具有逼真的钢琴音色外，还拥有如弦乐、古钢琴、风琴等音色。除了进行传统钢琴教学及演奏外，还可以进行其他器乐的教学与演奏。
（3）有些高档数码钢琴还具有电子节拍机的功能。节拍的速度可以任意调节。速度是音乐的灵魂，建立正确严格的节奏感觉是非常必要的。
（4）有些高档数码钢琴还具有实时录放音功能。利用这一功能可以让练习者实时感知自己的练习结果，从而提高和改进自己的练习效果。
（5）大多数码钢琴都带有MIDI接口，与电脑连接后还可以进行电脑音乐的教学与演奏。
2数码钢琴集体课教学系统的组成
数码钢琴教学系统是利用其先进的电子监控系统，由一架主琴带动数十架副琴进行集体授课的先进教学系统。它可以充分利用其辅助教学软件、多媒体投影仪和先进的监视监听系统等现代化工具，可以在因特网上搜集先进的音乐前沿教育的信息与资料，利用计算机和多媒体系统，选用全国乃至世界上的优秀课件，将它们引进到课堂教学中来。
数码钢琴集体课教学系统实际上也是一座现代化的电脑音乐多媒体系统。除学生用数码钢琴外，还配备有电脑音乐系统、音乐教学机、教师用高档数码钢琴（带音序功能的合成器）以及音频控制系统、视频投影系统、音像系统等。
2.1电脑音乐系统
电脑音乐系统一般包括三个部分：由电脑主机、相关软件、MIDI接口、扫描仪和打印机等构成的电脑系统；由MIDI控制器和合成音源、采样音源及鼓机等构成的音源系统；由调音台、效果器、均衡器、功率放大器、监听音箱和双轨、多轨录音机、CD刻录机等构成的音响录音系统。
2.2教师琴中的音序系统
数码钢琴集体课教学系统除了配备若干台学生用数码钢琴外，一般还配有1台较为高级的教师用数码钢琴。教师琴具有多样化的重奏功能，或是多乐器自动伴奏功能，有的还具有强大的音乐制作———音序功能（相当于1台合成器，如YAMAHAClavinovaCVP-94和CVP-92数码钢琴），可播放现有的标准MIDI乐曲，可为钢琴教学提供管弦乐团背景伴奏和协奏，对于2通道或4通道的钢琴MIDI示范曲的制作和播放来说，是完全能够满足需要。
2.3数码钢琴MIDI音乐教学机
一般音乐教学机外形设计小巧，易操作、便携带，适合教学使用。它通过内置的3.5寸软驱，可以播放标准MIDI文件，具有多音轨播放功能，可以任意将其中1轨（钢琴的右手声部或左手声部）消音来进行合奏，具备有反复练习的功能、特殊的节拍器功能（除了传统标准的节拍器声音之外，还提供其他有趣的节拍器声音，像是动物的叫声，或是人声数拍），播放、静音、反复，或者改变速度、改变调，变得非常简单，是钢琴教学的好帮手。高级些的音乐教学机还可以进行复杂、专业的音乐制作，内建有专为编曲家及要求严格的音乐家所设计的强大音乐编辑功能。
3数码钢琴集体课教学的优点
“数码钢琴集体课”打破了旧的教学模式，充分展示了现代化的教学设备、形式和理念，如键盘乐理、和声、曲式、复调、配器、合奏等。它把音乐教育专业的众多课程有机地、科学合理地综合起来，创造了一个融技巧、理论、实践为一体的全新的教学体系。
3.1丰富钢琴教学理论
以往钢琴教学都是个别授课，以师徒传艺式的手把手、口传心授的教学方法，教法单一，具有经验教学法的特征，理论知识教学不够完整系统。数码钢琴教学的新模式使钢琴教师走出了“一对一”授课陈旧狭窄的小圈子，面临一系列技能教学研究的新课题。教师必须以高度的师德水准和敬业精神，勇于面对传统观念、习惯势力的阻力困扰；以开拓进取精神，汲取新知识、拓宽知识面；系统地运用专业知识，把弹奏技术训练过程条理化、系统化、多样化，上升到理论高度来把握；在课堂上以敏锐的听觉灵活组织音乐形式，准确明了地进行理论讲解和弹奏技巧示范，才能胜任集体课教学，高质量地完成钢琴教学任务。
3.2提高教学工作效率
数码钢琴集体课教学，打破了传统钢琴教学中“一对一”的封闭式教学模式，使学生通过“交流”、“比较”和“取长补短”等学习途径，更好地实现学习目标。一位教师同时面对数十名学生，做到了共同的知识集中讲解，必备的技术技能集体练习。一人授课，众人受益，扩大了知识覆盖面，避免了许多不必要的重复教学环节。同时，教师不再是课堂上的主角，而是把更多的想像空间和创造空间让给了学生，启发他们主动听、主动看、主动思考，充分发挥他们的主动性和想像力，极大地提高了学习效率。通过钢琴教改和数码钢琴在教学中的实际应用，显著增进了教学工作效率和高师办学效益，较好地满足了当前高校扩大办学规模的形势需求。
3.3提高学生整体素质
钢琴集体课教学充分利用数码钢琴系统和互联网这一交互平台，强化了教师与学生、学生与学生、学生与系统之间的横向联系，促进了知识的相互渗透。数码钢琴的多重功能，在和声、配器、作曲、乐理、试唱、声乐等课程的教学中，有着广泛的使用价值，如利用其丰富的音色功能进行配器课的教学。教师和学生人手一架琴，弹奏修改学生的和声、作曲作业，可全面提高学生理解理论知识的能力，也可利用其监听、监视功能进行声乐集体课的教学等。总之，数码钢琴是现代高科技产物，它的智能化既可使教师的教学轻松简单，又可让学生的学习更有乐趣和富有积极性，为丰富教学手段、提高教学质量提供了良好的智能帮助。
3.4优化教师教学手段
使教学内容系统化、教学方法科学化使用数码钢琴系统中的计算机软件，能随课制作谱例，把乐理、键盘和声学、作曲及配器等教学内容随时演示出来，它直观准确，使目前的教学真正形成科学化、系统化的教育体系。它促进教师认真备课，严格执行教学大纲，系统安排好每节课的教学内容，广泛采用“课题型”或“技术、理论单元型”等教学手段进行科学化教学。
3.5完善教学管理制度
集体课教学，可以从根本上杜绝教师上课的随意性。利用监控系统进行教学管理，可在不走进教室的情况下，随时听查教学计划的执行情况，发现问题及时解决，消除隐患，大大降低了“自由主义”的发生率。每学期一次的考试既是对每个学生学习的检查，同时也是对每位教师一学期工作的检查。为了能反映出学生的学习成绩，考试成绩应由期中汇报、平时成绩、期末考试三部分组成。考试内容为练习曲、乐曲、正谱歌曲伴奏、即兴伴奏，以及边弹边唱等。
4数码钢琴集体课教学的实施
4.1集体上课
一般放在一节课的开始阶段，检查作业的方式是让学生齐奏上节课学过的曲目，齐奏前，教师要确定恰当的演奏速度，以保证节奏稳定统一。齐奏完毕，教师重点指出技能练习中的优长和缺陷，进一步明确演奏要求。一般可进行3组演奏，将学生分成两组，一组演奏，另一组聆听观察，而后通过分析讨论，找出不足；演奏复调作品时，可以一组弹高声部，一组弹低声部，强调强奏时应注意听另一声部的进行。还可以指定学生个别演奏，分析典型范例，促进共同提高。上课后就可以导入新课。体现新旧课之间的内在联系和衔接。
4.2系统讲授
数码钢琴集体课的教学必须把握教学系统和结构的完整性，注重基本理论、基本内容和基本方法的传授，而不能有太多的主观随意性和即兴性。教师要按照先拟定的教学计划，有步骤、有重点地讲授演奏理论与技巧方法，并采用螺旋方式在不同的程度上反复地强化基本概念和要领。要改变保姆式的教学方式，着力提高学生的学习能力，引导学生对所学知识技能的融会贯通，举一反三，自我发现问题和解决问题，在数码钢琴集体课上，教师讲授的兴趣和积极性普遍容易提高，因此学生可以获得更加系统和全面的知识与技能。
4.3小结本课
可以阶段性地小结本课，布置作业，每次上完新课，教师对全课教学过程进行总结评价，对学生的上课表现情况当堂打分并记录在案，作为综合考评学生学业成绩的重要依据。教师在布置作业时对音乐内容与技巧方法要进行详尽的分析，对那些经常容易出现的错误和问题给予事先的提醒，对要点与难点做出清晰的讲解与指导，并通过示范与模仿让学生弄清其中一些关键性的概念和要领，使学生不仅知道练什么，还知道怎样练，练习得怎么样。只有这样，才能大幅度地减少学生练习中的错误，提高学习的效率，教师上课时也不会那样劳神费力。
总之，利用数码钢琴教学系统进行集体课教学，与传统的教学模式相比，无疑是一场教学上的大革命。它不仅为现代音乐教学注入了新的活力，更体现出集体课无与伦比的优越性。它既改善了教学环境，同时又丰富了教学手段，这是对传统的音乐教学理念、内容和教法的挑战，也是一场深刻的革命。它的出现，对现在各师范院校的扩招后教学改革起到了推动作用，它顺应了现代教育改革的趋势与发展。
参考文献
1彭丽萍．数码钢琴集体课的继承和发展[J].内蒙古师范大学学报，2002(2)
2牛冬阳．钢琴集体课教学刍议[J].河南教育学院学报(哲学社会科学版)，2003(3)
一、提高交流意识，制订交流目标
把培养学生的数学交流能力明确纳入教学目标轨道，增强交流意识，制订切实可行的、以提高数学交流的技能技巧为主的数学交流目标。数学交流能力的培养不是孤立地进行的，应渗透在整个小学教育教学的过程之中。九年义务教育全日制小学数学教学大纲中规定的培养学生的四种基本能力是相互联系，又互为区别的。它们的联系和区别又可通过交流用外显的形式托出。所以，数学交流能力的培养要寓于四种基本能力的培养之中。因而，培养学生的数学交流能力有助于发展其它能力，这是制订目标的前提。制订目标还要遵循儿童不同年龄阶段的认知特点及语言发展规律，使实现目标成为经常的、现实的而不是权宜之计、望尘莫及的。低年级学生一般会用简单完整的话说出自己的算法、想法，能有序地说明一些操作；中年级学生会用简单的数学术语表达思想，有层次地说明思考问题的过程，能质疑，边操作边解释；高年级学生能使用学过的数学术语表达思想，讲明算理，质疑问难，对不同意见展开讨论，有条件还可撰写小论文，作书面交流。
二、挖掘课堂潜力，发掘交流因素，师生广泛交流
课堂教学是当前学生获取知识的主渠道，教师应充分利用这块阵地，使数学交流从课堂教学情境中扩展开去，改变那种教师“包讲”或者学生仅只是在教师设计的框框里围着教师的指挥棒转，不敢想也不善于想的教学模式。教师要鼓励中国学习联盟胆地想和讲。
语言是交流思想的工具，因此，课堂教学中首先要培养学生“能说会讲”，能正确表达自己的思想，掌握好数学交流的工具。口语训练的层次：说正确，说完整，符合逻辑地说，说得简练以及尽量说得有风趣。现以“红花有15朵，红花比黄花多7朵，黄花有几朵？”为例说明训练步骤：
说简单的话红花多
红花比黄花多
说完整的话红花和黄花比，红花多，黄花少，红花比黄花多7朵
讲算理把红花分成两部分，第一部分是与黄花同样多的朵数（？朵），第二部分是红花比黄花多的朵数（7朵）
说方法求黄花的朵数，用红花的朵数减去红花比黄花多的朵数，剩下的就是黄花的朵数
教学中教师要最大限度地发挥数学语言的科学性、逻辑性、严谨性等的示范作用，努力使语言形象化、趣味化。尽力避免“这样做怎么样”、“对不对”、“好不好”等类习惯问语，消除学生说“半截话”或者用一两个字“好”、“不好”、“是”、“不是”、“对”、“不对”等简单作答的语言环境。小学生在表达数学思想时有两个弱点：第一，不善于正确使用数学术语。如“除、除以”不分，“整除、除尽”不分，“质数、互质数、质因数”不分等，其实质是概念模糊。教师要教育学生注意听，学会听，帮助他们发现错误、疑问，认真纠正、释疑。第二，不善于讲算理。如教材讲“分数与除法的关系”时，有算式3÷4＝3／4，为什么“3除以4等于3／4？”学生回答：分数与除法的关系。这样犯了“逻辑循环”的错误。教师可以这样诱导学生理解和表述：讲讲除法算式3÷4的意思（把单位“1”（3）平均分成4份，求1份），1份是多少？（1份是3个1／4，即3／4）所以，3÷4＝3／4，等式表示了分数与除法的关系。这样既能帮助学生准确地理解算式的含义，又能促使学生逐步学会说清楚、讲明白算理。
其次，有目的、有计划地让学生自读教材，也是培养学生数学交流能力的重要手段。鉴于教材编写要求简洁、明白，不可能把什么都写进去，需要在教学时加以指点。如“长方形、正方形、平行四边形”一节，教材形象直观地描述了这三种图形，至于它们的关系等就要靠教师引导学生去认识，边读边议（交流）。
读：长方形的对边是相等的，正方形四条边都相等。
议（交流）：对边是指哪些边？（用手指一指）长方形靠近的两边叫邻边，如果长方形的两条邻边相等，那么，长方形会变成什么样？自己画画看（让长方形的一边不变）。
（附图{图}）
正方形与长方形的关系怎样？正方形是特殊的长方形，四边相等。
用手拉木条做成的长方形对角的顶：
（附图{图}）
长方形是特殊的平行四边形（四个角都是直角的平行四边形）。进而得出长方形、正方形、平行四边形的关系（如右图）。
（附图{图}）
通过阅读教材，一方面使学生能读懂教材的重点内容及不易理解的地方，进行有意记忆，逐步学会使用数学术语进行思维，较完整地表达数学思想及方法；另一方面，还可使学生领会教材的思路，懂得一些教材的逻辑关系，使其逐步学会逻辑地分析说明问题，为数学交流提供必要的“物质”保证。
第三，教学几何初步、计量等知识应利用和创造各种条件指导学生观察、测量、拼摆、画图、制作模型、实验验证等，使学生的听、说、触各种感官协同活动，经过综合、分析、推理、判断等思维形式，将思想表达出来，取人之长，补己之短。如，推导长方形面积的计算公式时，教师要学生从已准备的1平方厘米的小正方形中取出18块拼长方形，可以拼几种都拼出来（全部用上），如下图：
（附图{图}）
检查结果，有些学生摆不全。教师诱导：虽然三种拼法各不相同，但有两点是共同的（都是长方形，面积都是18平方厘米）。进一步启发：长方形的面积与长方形的长、宽有什么关系？由学生自摆（不限块数），相互交流，验证前述关系（长方形的面积＝长×宽），确信无疑，由此比较概括出长方形面积的计算公式（交流的结果）。又如，认识长方体：教师出示一粉笔盒让学生观察，学生众说纷纭，纸板做的——长方体——白色的……教师觉察到学生还未完全注意到本质的东西，于是又取出一只白铁皮方盒给学生看，学生议论：长方体——白铁皮做的——灰白色的——比粉笔盒小一点……教师并不制止、扭转学生的谈话，只是问两只盒子哪些地方相同？经学生议论概括出结论：如果不论是什么材料做的，不论颜色、大小，它们都是长方体的盒子。深一层展开认识活动：学生看、摸、画、数，认识长方体的特征。师生无拘束地进行交流，完成了对长方体的初步认识，既提高了学生交流的技能，增强了交流成功的信念，又强化了学生的交流意识。
