关键词： 解三角形 正弦定理 余弦定理
在学习解三角形的内容中，我们学到最重要的两个工具――正弦定理和余弦定理，并且归纳出正弦定理和余弦定理的使用情况。目的是让学生能够更准确地使用两个定理，但是一旦根据条件解出一个条件之后，再利用什么定理求解，教师并没有特别强调。所以在学生完成作业的过程中出现了这样一个问题：
已知a=2，b=1+■，c=60°，求c，∠A，∠B.
正解：已知两边及其夹角，首先使用余弦定理求边c，代入公式进行计算得：
c■=a■+b■-2abcosC=2■+（1+■）■-2×2×（1+■）×cos60°=6
c=■
cosA=■=■=■
∠A=45°
∠B=180°-45°-60°=75°
错解：已知两边及其夹角，首先使用余弦定理求边c，代入公式进行计算得：
c■=a■+b■-2abcosC=2■+（1+■）■-2×2×（1+■）×cos60°=6
c=■
■=■
■=■
sinB=■
0°
∠B=75°或105°
当∠B=75°时，∠A=45°
当∠B=105°时，∠A=15°
b>c
∠B>∠C
两解均可
起初看到这样的求解，觉得是计算错误，才会出现这样的情况。后来经过验算发现，从公式运用到推理说明都没有任何问题。先求出边c后运用正弦定理先求角B的度数，然后用“大边对大角”的方法进行检验。只是这个检验不能删去多余的错误结果。
如果换个做法，求出边c后还是用正弦定理先求角A的度数，那么也能舍去一解，从而得到正确答案。
■=■
■=■
sinA=■
∠A=45°或135°
a
∠A
∠A=45°
∠A=75°
这样的问题说明：解三角形的问题在正弦定理和余弦定理都能用的情况下，如果没有选择正确，就会影响问题解决的速度和运算的难易程度，甚至会产生错误的结果。同样还有一例，也有类似的情况。
已知AB=6，BC=2■，∠C=60°，求AC.
分析已知件属于“两边一对角”，首先选用正弦定理解决。
■=■
■=■
sinA=■
∠A=45°或135°
AB>BC
∠C>∠A
∠A=45°
∠B=180°-45°-60°=75°
接下来求AC边的长，又有方案1。
方案一使用正弦定理
■=■
■=■
【课型】 高中数学必修四第二章“三角函数的图像和性质”高一新授课
【学习目标】
1. 知识与技能：掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性、对称性等性质及其性质的简单应用；
2. 过程与方法：借助正弦曲线和余弦曲线，总结出正弦函数、余弦函数奇偶性和单调性，进一步体验“形”对“数”的体现作用.
3. 情感、态度与价值观：通过类比思想、数形结合思想的应用，使学生体会到数学研究乃至科学研究的方法就是用已有的知识去发现、归纳、论证、总结，从而激发学生的学习兴趣，培养学生学好数学的信心.
【学习重点】探究正弦函数、余弦函数的性质.
【学习难点】利用三角函数性质解决简单的问题.
【教学方法】小组合作学习教学法
【教学环节设计】
根据系统论对教学设计的要求，课堂教学应该按照课堂上最可能出现的序列来提出上课步骤. 本节课以加涅的教学设计理论为指导，结合新课程实施中流行的教学设计思想以及教学程序的展示方式，从阶段性目标、老师活动和学生活动三个层面设计课堂进程，以教学事件的方式展示主要的课堂教学环节， 对于次要的、过渡性的课堂内容，则不再一一罗列. 【课堂实录】
教学事件1：创设情境 明确目标
师生共同回顾学习过哪些基本初等函数？研究过这些基本初等函数的哪些性质？研究方法是什么？引出课题“正弦函数、余弦函数的图像和性质2”. 明确本节课的学习目标，创设合作学习情境.
教学事件2：划分小组 任务分工
任务：在短时间内完成合作学习小组的划分，引入竞争机制并明确活动规则.
操作：老师倡议分组竞争的学习方式，并指导学生快速完成分组. 全班划分为6个小组，每个小组均包括上、中、下三个学习层次的学生. 按照本节课的探究环节6个小组展开讨论探究，布置合作学习任务. 让学生积极讨论，最先探究出答案的小组，展示成果，课堂中尽可能安排照顾到每一个小组，对每个小组的表现做出评价.
教学事件3：小组合作完成探究一
任务：完成小组探究一
要求：1. 小组合作探究出正弦函数的性质，并写在学案上；
2. 最先完成的小组，两名同学上台合作展示（写上组名以便评价）；
3. 其他小组成员补充、质疑.
第2、3两组同学探究环节完成最快，分别推选两名同学共同完成板书，填写正弦函数的图像和性质表格，学案设置只给出大体框架，发散学生思维，小组合作产生思维碰撞，合作生成知识. 学生填写完毕，老师不急于做正误评价，征集其他学生意见，其他组同学踊跃发言. 补充完成正弦函数的图像和性质. 在完成过程中，对有关对称问题提出了质疑. 两个小组出现激烈争论. 生1：由于图像关于原点对称所以为奇函数，由于函数为奇函数，图像关于原点对称. 生2：由于正弦函数有周期，故此对称中心有无数个. 在多名学生的共同参与讨论中，产生正确答案，正弦函数的对称中心为（kπ，0）（k∈z），从而也得出对称轴等其他正确的性质. 研讨过程中，部分学生产生疑问. 老师参与讨论，引导学生分析探究.
本环节的完成，充分调动了学生小组合作参与的积极性，完全由学生得出三角函数的性质. 老师并不用过多讲解，只需引导学生探索、发现. 学生在合作质疑中完成知识的建构.
教学事件4：小组合作完成自主探究
任务：自主探究
要求：1. 独立完成余弦函数的性质探究，并写在学案上；
2. 个人完成后，小组长带领大家会诊答案；
3. 最先完成的小组，两名同学上台合作展示（写上组名以便评价）；
第1组完成最快，中心发言人积极要求到黑板展示. 并在黑板讲述类比正弦函数的性质观察图像得出余弦函数的性质，展示了正确的书写结果. 老师带领同学们给出了激励性评价，征集意见时，其他同学没有疑问.
本环节教师只起到引导作用，学生积极参与，由图像观察研究出函数的性质，印象深刻，思维活跃. 大胆放手，精心设计，学生会全身心参与、思考，不仅获得知识，更能获得深层次的思维训练.
教学事件5：小试牛刀 性质的简单应用
任务：教师预设题型训练，引导学生学以致用，为下一环节教学奠定基础.
要求：1. 独立完成；
2. 完成后组长带领大家会诊答案；
3. 完成最快的小组展示答案.
第4组同学完成较快，展示了学习答案，并由3名同学回答了解题方法. 针对第2题的比较大小，生3运用正弦函数、余弦函数的单调性解决，生4观察函数图像解决，生5提出运用三角函数线解决，体现学生的多角度考虑问题，一题多解的解题思路.
本环节学生完成得很好，老师和同学共同做出评价，肯定并激励学生多思考，但是同时老师根据学生的思维最近发展区提出学习性质后，能简约地使用之，解决问题又多出一种好的方法，学以致用也.
教学事件6：团队合作，编写题目. 发挥合作共赢，思维碰撞，创新拓展的精神.
任务：运用所学知识编写题目，好题共享，智慧漂移分享. 要求：1. 组内合作研究，编写一道利用性质解决的题目；
2. 组长上台展示题目；
3. 三分钟倒计时开始.
课堂中6个组的同学都编写出了运用性质解决的问题，当堂选取第5组同学的题目让大家探讨研究并书写出解答过程. 题目是：
已知函数y = 2sin-x + ，求：（1）最大值；（2）求单调减区间；（3）求对称中心.
这次给第6组同学机会，上台展示他们的解题过程，老师对同学们的表现给出激励性评价. 强调解答题的规范书写. 教学事件7：课堂小结 布置作业
任务：总结学习过程的收获，布置课下作业.
操作：引导学生从三维目标、自我表现和收获等方面做出总结，老师对各小组的表现给出综合评价. 分层布置课下作业. 课堂小结着重对同学们的课堂表现给出激励性评价. 本环节，学生总结到位，不仅把所学知识正弦函数余弦、函数的性质的共性和特性总结出来，而且总结出课上运用研究函数的方法. 恰好碰撞了老师预设的一首诗，课堂结束.
总评：这节课在高一新授课中较好地利用了小组合作课堂生成教学法，不但超额完成了预定的任务，而且很好地调动了学生. 在高一学生现有的能力基础上，灵活运用多维合作模式，顺利完成了新授课的教学任务. 老师整堂课没有独白式的讲解，仅在个别环节做出必要的评价或说明. 充分发挥了学生的主观能动性，课堂生成资源丰富，奇思妙想层出不穷，老师根据学生反应随时调整课堂节奏和进度，课堂容量超出课前预设.
【参考文献】
[1]佐藤学，著.学校的挑战创建学习共同体[M].钟启泉，译.上海：华东大学出版社.
[2]盛群力，郑淑贞.合作学习设计[M].杭州：浙江教育出版社，2006.
[3]刘林，姜连国.论高三复习课堂的合作学习模式[J] .物理教师，2009（2）.
关键词： 正余弦图像 “坐标系”法 正余弦不等式
“坐标系”法的依据：
sin（0+2kπ）=sin0=0
sin（ +2kπ）=sin =1
sin（π+2kπ）=sinπ=0
sin（ +2kπ）=sin =-1
把它们体现在坐标系上，得到：
同理可得cosx的坐标系：
学生可以在理解的基础上记住：正弦sinx在坐标轴上的值按逆时针顺序依次为：0，1，0，-1；余弦cosx在坐标轴上的值按逆时针顺序依次为：1，0，-1，0.
应用一：求坐标轴上角的正余弦值.
例1：计算sin180°-cos270°+sin360°+cos0°-cos180°
点评：学生碰到坐标轴上角如：180°、270°的正余弦，要么容易记错，要么用诱导公式推导，或者用三角函数的定义推导，但是如果学生记住以上的坐标系，则解题既快又不会错.
应用二：已知正余弦的范围，求角的范围.
例2：已知y=sinx，x∈R，求满足- ≤y< 的x的集合.
首先用图像法解：
第一种解法：
从图像得出符合条件的集合为：
[2kπ， +2kπ）∪（ +2kπ， +2kπ）]∪[ +2kπ，2π+2kπ]（k∈Z）
第二种解法：
从图像得出符合条件的集合为[- +2kπ， +2kπ）∪（ +2kπ， +2kπ]（k∈Z）.
点评：正余弦是周期函数，研究图像时，常取一个周期考虑，然后再加上周期性.正弦的一个周期常取[0，2π]，余弦的一个周期常取[-π，π]，得到上面第一种解法，图像分为三段，答案比较复杂.第二种解法有所改进，取的一个周期是[- ， ]，图像分为两段，答案比较简洁.学生在解题时常会困惑到底该取哪个周期比较合适，反而容易出错.
“坐标系”法：
第一步（准备）：画正弦坐标系，坐标轴按逆时针标上0，1，0，-1；
第二步（画终边）：在一、二象限用实线画正弦值为 的角的终边，在三、四象限用虚线画正弦值为- 的角的终边，此时坐标平面被分成四个区域；
第三步（定区域）：找出正弦值介于- 和 的区域，并用带有逆时针方向箭头的弧线标出；
第四步（确定角）：在同一周期取定四条终边对应的四个角，遵循原则：按逆时针方向角度从小到大.
结论：[- +2kπ， +2kπ）∪（ +2kπ， +2kπ]（k∈Z）.
点评：本方法最容易错的就是第四步，所以第三步中要用带有逆时针方向箭头的弧线标出区域，目的就是为了区分角的大小.第一象限那条终边对应的角如果取 ，而左边区域箭头指向它，所以第四象限那条终边对应的角要比 小，应取- ，而不是 .
应用二：已知角的范围，求正余弦的范围.
例3：已知- ≤x< ，求y=cosx的取值范围.
第一步（准备）：画余弦坐标系，坐标轴按逆时针标上1，0，-1，0；
第二步（画终边）：用实线画- 对应的终边，用虚线画 对应的终边，坐标平面被这两条终边分为两个区域；
第三步（定区域）：找出角介于- 和 的区域，并用带有逆时针方向箭头的弧线标出，目的：从小角指向大角；
第四步（观察值）：顺着箭头方向可以看出，cosx的值从 增到1，再从1减到- .
结论：-
点评：用“坐标系”法解已知正余弦的范围，求角的范围和已知角的范围，求正余弦的范围方法大致是一样的，这个方法的优点就是不需要作图，解题速度快且容易做对.
相关练习：
1.计算sin540°+cos270°-cos90°+sin180°.
2.y=3sin（2x+ ），x∈[- ， ]，求y的取值范围.
关键词 数学教学 《解三角形》 苏教版
中图分类号：G633.6 文献标识码：A
案例呈现：在已知三角形的两边a、b和一边的对角A，求角B时，如果A为锐角，那么可能出现以下几种情况：
如果为钝角，那么可能出现哪几种情况？试画出草图加以说明.
案例剖析：
方法一：利用正弦函数判断三角形的解的情况
按照教材的布局安排，在学习完正弦定理之后让学生阅读这个案例，采用的理论依据是正弦函数的定义。
学生通过小组讨论，结合三角形的相关性质，如三角形的内角是，三角形中大边对大角定理等，通过作图，得出如下结论：
若A为钝角，则角A所对的边a是三角形三条边中的最大边。
解题方法归纳：在解题时需要首先判断角A的类型（锐角，直角还是钝角），然后画图利用正弦函数的有关知识来判断即可。这是一种简捷，准确且形象的方法。
解题思想：数形结合，通过图形找出符合题目要求的结论。
解题方法回顾评析：在课堂探究此法的过程中，学生理解有困难的地方主要集中在角为锐角时，三角形有两个解的判断条件bA
对于某些动手能力较差的学生，在做这种练习题时，不知道几何图形该从何画起，也不知道该从哪里下手讨论边角关系，自然判断不出三角形解的老师这样画图是理所当然的，但如果让他们自己在练习本上或到黑板上画出相应的图形时，他们这时就会呈现出无所适从的状态，根本就画不出图形。这样的学生有很多人比较擅长于列出代数式，通过解方程、二次函数或不等式来确定目标到底在哪里，这样会使他们内心更踏实，因为他们有了充足的底气（能够列出表达式，肯定就能解出答案）。
这些学生在遇到与前面例题相似的题型时如果能够做对题目，也是参考着笔记，硬套公式算出来的。我们不认为他们是很差的学生，因为他们中有不少人平时都能很积极地思考问题，也经常会用不同的思路来解题，然后兴致很高地来向老师求证他们的正确性。
针对这种情况，在学完余弦定理时，我又拿出案例中的题目，让班上学生思考除了用正弦函数来做，还有没有其他的方法。
【关键词】探究式学习 分组合作 类比
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）10-0142-01
传统的课堂以教师为中心、以知识传授为主要目的，尤其是以凯洛夫提出的“复习―导入―讲授―巩固―作业”五环节长期统治着教学课堂。探究式学习打破了这种固定模式，在教师的指导下，以学生周围世界和实际生活为参照，创设一定的情境，以个人或小组合作的方式，通过学生自主的讨论、探究等多种尝试活动，最终解决问题。探究式课堂设计可分为“引入课题―小组合作―启发指导―反馈交流”，整个过程中，学生是课堂的主体，教师起主导作用，如果运用恰当将会充分调动学生学习的积极性、主动性和创造性，生成精彩的课堂。
在数学课堂中，探究式学习不仅体现了新课程的教学思想，而且提高了学生自主思维的能力。本文以一堂公开课――《余弦函数的图像与性质》为例，来谈谈探究式学习。
本次课堂设计分为三个探索。首先通过类比正弦函数的图像探索出余弦函数的图像，接着通过观察得到的余弦函数的图像，类比正弦函数得出性质的过程，通过探索，尝试归纳出余弦函数的性质，最后通过得出的余弦函数的性质思考它能解决哪些问题。设计的初衷是学生参与课堂，探究学习，因此从形式上首先对全班学生进行了分组，便于他们讨论和交流。具体课堂操作步骤如下：
一 复习巩固，引出图像
数学知识讲究严密的逻辑，新旧知识环环相扣。因此，在讲授新课前要帮助学生回忆和复习整理已学知识。为此，我准备了《导学案》，其中包含了正弦函数的图形和性质，以及正弦和余弦相关联的诱导公式作为预备知识，让学生先行进行练习，使学生课前对这些知识进行回忆和整理。自主学习不仅体现在课堂，在课前、课后都是如此，它应该是贯穿于学生的整个学习过程。
这样一来，在课堂开篇就从复习正弦函数的图像与性质入手，由教师对这部分内容进行简单的知识梳理。这一环节是必不可少的，因为这些知识与新授课相关，它们是新知识余弦函数图像与性质的生长点。
教师提出：余弦与正弦有何关系？能否通过正弦函数的图像得到余弦函数的图像呢？这个问题的关键点就是诱导
公式sin（x+ ）=cosx，通过这座桥梁，将新知识余弦函
数y=cosx的图像转化为y=sin（x+ ）的图像，实现了由
余弦到正弦的转化，而y=sin（x+ ）的图像是由正弦函
数y=sinx平移 个单位实现的。通过PPT的动画演示，加
上问题，进一步引导激发了学生的学习兴趣，为学生主动参与探索新知识提供了良好的心理环境。
二 分组合作，探究性质
在学生的求知欲被激发后，引导学生观察余弦函数的图像，这时需类比正弦函数得到性质的过程，从定义域、值域、最值、奇偶性、单调性等方面入手，通过学生的分组讨论，归纳得出余弦函数性质。这个过程，形在于学生分小组讨论，神在于数学思维的传递，即通过观察图像、类比正弦函数，最终让学生自己整理、归纳得出余弦函数的性质。
在这个过程中，学生在教师设计的问题中，自觉地、全身心地投入到学习活动中，用心思考，真诚交流，也许时而会感到困惑，时而会感到喜悦，但在跌宕起伏的情感体验中，能自主地完成对知识的构建。在这样的教学过程中，学生不仅对知识理解深刻到位，而且创造着获取知识的方法，体验着获取知识的愉悦，从而使学生既能展示自己的个性和才能，又能体验着集体智慧的力量。
三 步步深入，类比应用
在学生共同参与探究，初步完成新知“内化”后，教师可引导学生自己总结提炼一般性方法和规律，并加以引申类比，最终实现学生知识的迁移和运用能力。类比正弦函数的性质，余弦函数的性质同样可以运用于求最值、奇偶性、单调性这三方面的问题，最后通过具体问题来固化知识。
上完课后，通过评课和讨论，发现可以有更好的设计，如采用任务驱动法将这三类问题分给几个小组，每小组共同探讨完成一个，形成竞争，最终呈现学生的成果。这样更能激发学生热情，发挥学生的主体性，提高学生的参与度。
总之，一堂好课的标准不是教师教了多少，而是学生学了多少。教师教学设计和实践的环节不应该是怎么教，而是让学生怎么学。教与学的转变，恰恰是主体地位的转变。教师要能够通过巧妙的问题引导，恰到好处的任务驱动，让学生在教师的组织下全身心地投入课堂、参与课堂。
参考文献
[1]胡庆芳、贺永旺、杨利华等.精彩课堂的预设与生成[M].北京：教育科学出版社，2007
1.正弦定理和余弦定理揭示了关于一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理。
对于正弦定理，教材首先引导学生回忆初中对三角形的定性认识：任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，引导学生思考是否能得到这个边、角关系准确量化表示的问题。由于涉及边角之间的数量关系，就比较自然地引导到三角函数。在直角三角形中，边之间的比就是锐角的三角函数。研究特殊的直角三角形中的正弦，就很快证明了直角三角形中的正弦定理。分析直角三角形中的正弦定理，考察结论是否适用于锐角三角形，可以发现asinB和bsinA实际上表示了锐角三角形边AB上的高。这样，利用高的两个不同表示，就容易证明锐角三角形中的正弦定理。钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导公式。如果∠A
2.用正弦定理解三角形是正弦定理的一个直接应用，教科书首先说明了什么是解三角形。应该注意，对于解三角形的描述是对传统的关于解三角形的一个简化。在传统的解三角形问题中，还把三角形的中线、高、角平分线等也作为三角形的元素。教科书对此作了简化的处理，仅把边和角作为元素。
上面的每一个等式都表示了三角形两个角和它们的对边的关系，因此，正弦定理可以用于两类解三角形的问题：
（1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。
（2）已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。
3.教科书用两个例题说明应用正弦定理解三角形的方法。在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形，教科书在探究与发现：“关于解三角形的进一步讨论”中对此作了说明。
4.对于余弦定理，教科书首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。根据判定三角形全等的方法，已知三角形的两条边及其所夹的角，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形。解这个三角形，就是从量化的角度来研究这个问题。教科书先研究如何用已知的两条边及其夹角来表示第三条边，设法找出一个用已知的两条边及其夹角来表示第三条边的一个公式的问题。涉及边长问题，考虑用向量的数量积来加以证明。教科书利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。
余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量。从已知三角形的三边确定三角形的角，这就是余弦定理的推论，也可以说是余弦定理的第二种形式。
5.应用余弦定理及其推论，并结合正弦定理，可以解决的解三角形问题有：
（1）已知两边和它们的夹角解三角形。
（2）已知三角形的三边解三角形。
教科书中的例3和例4说明了余弦定理及其推论并结合正弦定理，可以解决的解三角形问题。在已知两边及其夹角解三角形时，可以用余弦定理求出第三条边，这样就把问题转化成已知三边解三角形的问题。
6.正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用，对于未知的距离、高度等，存在着许多可以供选择的测量方案，可以应用全等三角形的方法，也可以应用相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法，以及应用两个定理的方法等等。但是，由于在测量问题的实际背景下，某些方法也许不能实施，如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，一种方法会有局限性。
三角向量是高中数学教学中很重要的两个章节，在高考考纲中其大多数内容都属于级、级要求，正余弦定理以及向量的数量积更是重中之重，是高考重点考察的内容，特别是在填空题中这两部分的内容考得比较灵活，所以在平时的教学中，我们除了要教会学生一些常规的解法外，还需要引导学生掌握一些特殊的解法，开拓他们的思维。
建系是三角向量中一种比较灵活的解法，对于很多新题难题能起到意想不到的效果，下面先通过几个例子，来介绍建系这种思想的特殊功效。
点评：这里涉及到面积的两种算法，法一既要用余弦定理又要用到基本不等式，还要把正弦转化为余弦，对学生的能力要求比较高。法二通过建立坐标系将B、C两点固定后就转化为研究A点纵坐标的范围，学生就自然会通过题目中的条件去分析点A的轨迹，最后发现是个圆，从而快速的得到答案。
通过这个例子我们发现建系以后，题目中的条件得到了很好的转化，处理起来比较方便，接下来我们再来看几个例子。
解析：大多数同学拿到这道题目都会感觉无从下手，条件不会转化。我们先来看一种解法：
解：E、F是AB、AC的中点， EF到BC的距离=点A到BC的距离的一半， ABC的面积=2PBC的面积，而ABC的面积=2， PBC的面积=1，
（1）求该船的行驶速度v（海里/小时）；
（2）在离观测站A的正南方20海里的E处有一暗礁（不考虑暗礁的面积），如货船不改变航向继续前行，该货船是否有触礁的危险？试说明理由。
直线BC经过点E，即货船不改变航向继续前行会有触礁的危险。
点评：如果用常规方法，思路比较清晰，但要同时用到正余弦定理，运算量比较大。建立坐标系来做的话，题目中的角度就有了几何意义，通过三角函数的定义快速求出各点坐标，通过直线方程来说明三点共线，这个比通过计算线段长度来证明要简单得多。
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2012）07B-
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众所周知，一节好课的教案是需要反复修改的。因为课堂上的学生毕竟是有思维的主体，教师在上课之前即使把课堂设计得再好，学生也有可能不按照老师所想的那样去想去做，而且课堂教学情境不是固定不变的，每一次课都是唯一、不可重复的，是丰富而具体的活动。那么对于这样“瞬息万变”的课堂，教师该如何处理，才能发挥学生的积极性，体现教师的主导作用和学生的主体作用呢？现结合笔者在学校的教学研讨课上上的一节“正弦函数、余弦函数的性质”的公开课，谈谈自己的一点体会。
在正式上公开课之前，先在备课组和教研组各上了一次试教课，得到了大家的帮助。教案经过修改，可以说这节课会突出重点，突破难点，整个教学框架设置得也很不错，教学流程应该比较顺利，时间的安排也很合理。自己比较有信心能够上好这堂课。
公开课正式开始了，前15分钟是第一块内容：正弦函数、余弦函数性质的形成。学生通过对正弦函数、余弦函数图像的研究和思考，讨论得出正弦函数、余弦函数的性质，整个过程都很顺利。第二块内容是利用该性质解决与三角函数有关的最值和值域的问题，首先我给出了下面的例题：
［例］函数y=sinx+cosx的最大值和最小值分别是 。
分析：强调学生容易出错的地方——认为最大值是2，最小值是-2。要求学生分析不能这样取最值的原因，从而引入辅助角的一角一函数y=sin(x+)求其最值，得出答案y∈［-,］。
在本题的讲解过程中，学生回答问题很顺利，都在老师的预计范围之内，但在接下来的变式训练请学生上台演算时，新的情况发生了，学生给出了非常规的解法，耽误了很多时间。具体情况如下：
［变式训练1］求函数y=(1+tanx)cosx，x∈［0，）的最值。
（学生给出的方法）
解：y=()cosx=
=2cos(60°-x)
x∈［0，），ymin=1，ymax=2。
［变式训练2］已知函数f（x）=1+2sinxcosx+2cos2x，x∈R，求函数f（x）的最大值及取得最大值时自变量x的取值。
（学生给出的方法）
解：
f（x）=sin2x+cos2x+2sinxcosx+1+cos2x
=（sinx+cosx）2+cos2x+1。
=［sin(x+)］2+cos2x+1。
所以当sin(x+)=±1，cos2x=1时，fmax（x）=3；
当sin(x+)=0，cos2x=-1时，fmin（x）=0。
学生在黑板上做题，当看到他们的做法时，我脑袋“闷”了。怎么回事？怎么不按照前面例题的方法去做？
本来很明显，变式训练的题型是和例题的题型做法是一样的，化成一角一函数y=2sin(x+)，很容易解决。现在怎么办？试教时学生写的都是对的，而且后一题是考查二倍角和半角公式的应用，化简后再构造辅助角的一角一函数就行了，但现在学生的做法却……给我出了个难题。
我脑子里想的是：怎么这么直接的题目学生都写错，而且两题都不对，怎么办？我的思维一下子乱了。这下该怎么处理？
学生在黑板上写题时，我在下面巡视，强迫自己保持冷静。这时必须换个角度思考问题，学生本来就是来学习的，学习难免会犯错误。现在关键是要想想学生为什么会这样做，对这种情况该怎样处理和补救，怎样分析引导。等学生走下讲台时，我也想通了。首先分析了学生的做法，给予了肯定，同时指出其不足。
对变式训练1学生做法的评价：学生的切化弦、通分、一角一函数的应用等知识巩固得很好，但是做题时把简单问题复杂化了，忽视了本题与例题的区别和联系。其一，没有通过观察知道可将cosx乘到括号里面去，直接化成一角一函数y=2sin(x+)；其二，忽视自变量x∈［0，）的范围决定sin(x+)的范围，答案虽然对了，但是缺少(60°-x)的范围，是要扣分的。同时由此问题说明细节的重要性，联系到高考，差一分就会输给很多人。
对变式训练2学生做法的评价：指出学生对“1的妙用”掌握得很到位，二倍角和一角一函数也用到了，但是用得不恰当，并且没看清题目到底是求什么，后面的最值求法不对。评价后给出了正确解法。
解：f（x）=1+sin2x+(1+cos2x)=sin2x+cos2x+2=sin(2x+)+2，所以当2x+=2k?仔+，即x=k?仔+时，fmax(x)=2+。
虽然这节课的内容还有一些没讲到，但是在解决上面的突况时，通过我的鼓励和启发，学生非常配合，回答问题积极，声音响亮。经过课堂的临时调整，整节课上得还很完整，顺利结束，自认为做得还可以。当然，还有遗憾之处，有待改正：一是面对课堂的紧急变化，自己表现得还不够成熟，不能做到游刃有余地应对；二是问题虽然指出，但在更正时自己包办过多，应该让其他学生找出错因。
通过这节课，我对“学生是主体”这句话体会更深了。面对突如其来的课堂变化我们该怎么应对？经过课后反思，我觉得：首先教师的专业知识要过关，知识面要广；要保持冷静清醒的头脑，对自己要有信心；要善于分析导致课堂变化的原因；要因利就势，恰当引导学生；要给予学生肯定，同时找出其不足；要及时调整自己的思维，合理调控课堂的节奏与教学的走向。
一、教学片段实录
提出问题：
师：请同学们翻到课本第10页。看习题1.1A组第2题的第(2)小题。题目是：在ABC中。a=lSem，b=10cm，∠A=60。，求c。
学生通过思考后能用正弦定理求解。
师：正弦定理我们是怎样推导的?三角证法的关键点是什么?
生：三角证法的关键是作高线，把解斜三角形问题转化为解直角三角形阃题。
此问题学生很难用正弦定理求解，对学生来说有一定的挑战性，此问题的设计给学生创设了很大的思维空间，学生思考后觉得比较难解，教师提示能用学过的知识解决，前面三角证法的关键点是作高线，这里是否也可以呢?学生通过作高线，作CDAB，垂足为D，在RtAADC和RtACDB中求出AD、CD与BD，用勾股定理求出BC(即a)的值，再次让学生感受三角证法的关键点是作高线。
然后给出了变式2：在ABC中，已知c，b，∠A，求a。
余弦定理源于向量和基于向量，它是“好看又好用”的又一数学典范。余弦定理向量证法的价值：向量的数量积是―个重要的工具。余弦定理向量证法基于一种新的数学结构――空间向量。
问题的引入：引用荷兰弗赖登塔尔数学研究所的一个问题“甲离学校10千米，乙离甲3千米，问乙离学校多少千米?”这问题太简单了，简直是小学生的问题。不过，该问题并没有说明甲、乙、学校三点是否在一条直线上。若三点在同一直线上，答案是13千米或7千米；若不在同一直线上，甲、乙、学校三点可以构成直角三角形，问题可以用勾股定理解决；若甲、乙、学校三点不能构成直角三角形，就变成已知三角形的“两边夹一角”如何确定第三边的问题，明确地指向余弦定理。
二、科学地解渎教材、合理地挖掘、利用教材
教材是课程的重要资源，是教师教学的重要依据和学生学习的重要文本。科学地解读教材，合理地挖掘、利用教材是每个教师必备的基本功，教师只有静下心来，仔细研究教材，充分发挥教材在教学中的引领作用，才能提高教学的有效性。教材是学术数学到教育数学转化的产物，教师使用教材的过程又是一个吸收和改造的过程。一节课教学设计的是否适合学生，首先取决于教师对整节课教学内容的准确把握。教师只有在认真研读新课标、全面理解全章节知识的基础上才能正确地把握整节课的教学内容，才能正确组织教学内容进行设计，才能明白本节课重点、难点，学生的疑点是什么。哪些内容不宜放在这一课，哪些知识在本节课学习比较合理，哪些知识适合后续学习；有没有必要在课堂上引领学生进行探究，习题该怎样变式，变式的核心是什么，问题的解决还有哪些方法，教学过程中要渗透什么数学思想方法，要培养学生什么能力等等，这些都值得教师深思。这要求教师从整体性、联系性的视角审视教学内容，应该根据学生的实际情况去进行教学，使教学设计不偏离数学本质。其实，余弦定理的证明方法很多，教材介绍了用极坐标证明余弦定理和复数证明余弦定理等等。为了培养学生对数学的兴趣，课后可以引导学生对定理给出新的证明方法。教师把握并使用教材是极富主动性、创造性的工作。在具体的教学过程中，我们要从学校、学生和自身的实际情况出发，主动地、合理地对教材进行解读，引领学生走进教材，要努力形成适合于自己、有益于学生的教学设计和方法。只要我们下真功夫研读教材，科学、合理、有效地用好教材，学生求知的星星之火定能成燎原之势。
三、对常态课的一点反思
